étude du reste d’une division euclidienne

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Exercices
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Arithmétique

Pour tout entier naturel non nul n, on considère les deux nombres entiers :

et

Le but de l’exercice consiste à déterminer, suivant les valeurs de n, le reste de la division euclidienne de N par D.

1. Déterminer le reste de la division de N par D dans les cas n = 1, 2, 4, 5 et 7.

2. Représenter graphiquement sur le logiciel d’algorithmique Algobox les restes en fonction de n. Que constate-t-on ?

Une boucle “pour” permet d’incrémenter la valeur de n automatiquement, jusqu’à une valeur que l'on choisira.

3. Conjecturer, suivant les valeurs de n, l’expression du reste de la division euclidienne de N par D.

Des points alignés correspondent à une expression du premier degré dont il reste à déterminer les coefficients, on peut pour cela s’aider des résultats du 1.

4. Démontrer que si n est pair, le reste de la division euclidienne de N par D est Pourquoi r ne peut-il pas être le reste de la division euclidienne de N par D si n est impair ?

5. Si n est impair supérieur à 5, démontrer que le reste est