Exercice corrigé Ancien programme

Étude du signe de fonctions dérivées

Pour chaque fonction f, calculer , puis étudier le signe de selon les valeurs de x.

1. . 2. .

3. . 4. .

2. Utiliser la formule avec .

3. et 4. Il est plus simple d'étudier le signe de la dérivée en gardant le dénominateur sous forme d'un carré : il suffit alors d'étudier le signe du numérateur.

Étude du signe de fonctions dérivées

1. Pour , on a .

.

est positive sur et négative sur .

2. . On utilise avec , et .

, soit .

.

est positive sur et négative sur .

3.  n'existe pas pour (valeur qui annule le dénominateur).

On a .

Le dénominateur étant un carré, il est positif. est donc du même signe que le numérateur. est strictement négative sur et sur .

4.  n'existe pas pour et pour (valeurs qui annulent le dénominateur). On utilise .

Pour , on a et pour , on a .

On a :

.

Le dénominateur étant un carré, il est positif.

est donc du même signe que le numérateur .

.

Il y a deux racines : et .

est toujours positif sauf entre ses racines 1 et 3.

est strictement positive sur , sur et sur .

est nulle en 1 et en 3.

est strictement négative sur et sur .

1. et 2. On cherche quand la dérivée est positive et on déduit quand elle est négative.

3. et 4. On commence par déterminer les valeurs interdites, celles qui annulent le dénominateur.

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