Dans une fête foraine, un ticket enfant permet d'effectuer autant de tirs successifs qu'il est nécessaire pour crever un ballon. À chacun de ses tirs, on considère qu'un enfant a la probabilité 0,2 de crever le ballon. Le tireur s'arrête quand le ballon est crevé.

Partie A. Algorithmique

Écrire en langage courant un algorithme qui simule 100 parties et comptabilise le nombre moyen de tirs nécessaires pour crever le ballon.

On pourra utiliser la propriété (voir le chapitre suivant sur la loi uniforme) : pour un nombre aléatoire compris entre 0 et 1, la probabilité qu'il soit dans un intervalle est égale à

Créer deux compteurs : le premier comptera le nombre de coups nécessaires pour crever le ballon dans une partie, et le second comptabilisera le nombre total de tirs pour les 100 parties.

Partie B.

1. a. Quelle est la probabilité qu'au bout de deux tirs le ballon soit intact ?

b. Quelle est la probabilité que deux tirs suffisent pour crever le ballon ?

c. Quelle est la probabilité que n tirs suffisent pour crever le ballon ?

Mieux vaut envisager l'événement contraire.

d. Pour quelles valeurs de n a-t-on ?

2. Un deuxième stand de tir propose la règle suivante :

Dans un premier temps, le joueur lance un dé tétraédrique régulier dont les faces sont numérotées de 1 à 4 (la face obtenue avec un tel dé est la face cachée) soit k le numéro de la face obtenue. Le joueur a alors le droit à k tirs maximum pour crever le ballon.

Démontrer que, si le dé est bien équilibré, la probabilité de crever le ballon est

égale à

Entrées : aucune

Initialisation : (T désigne le nombre de tirs au total pour les 100 parties)

Traitement : Pour i allant de 1 à 100

(N désigne le nombre de tirs nécessaires pour crever le ballon)

a est un nombre aléatoire pris au hasard dans l'intervalle

Tant que

N devient

On choisit un nouveau nombre aléatoire a

Fin de la boucle tant que

Cette boucle s'arrête quand , c'est-à-dire pour , ce qui a bien pour probabilité .

T devient (on ajoute N à T)

Fin de la boucle pour.

Sorties : Faire afficher

À chaque partie, il faut penser à réinitialiser le nombre de tirs N.

Partie B.

1. a. Pour on note l'événement « le ballon crève au k-ième tir » et l'événement « le ballon est intact au k-ième tir ».

Sachant que le ballon est intact à l'issu d'un tir, la probabilité de crever le ballon au tir suivant est donc la probabilité de laisser intact le ballon est

Le ballon est intact au bout de deux tirs s'il est intact au premier tir

(événement ) et au second tir (événement ).

On en déduit :

b. L'événement A « deux tirs suffisent pour crever le ballon » est l'événement contraire de « au bout de deux tirs le ballon est intact ».

Donc

On obtient le même résultat en écrivant et utilisant les branches correspondantes de l'arbre pondéré :

c. Soit B l'événement « au bout de n tirs le ballon est intact ». C'est l'événement contraire de « n tirs suffisent à crever le ballon ».

B est réalisé lorsque chacun des n tirs consécutifs laisse le ballon intact :

donc

Ainsi soit

Ici, le passage à l'événement contraire est indispensable car il est beaucoup trop long d'effectuer un calcul direct en suivant les branches favorables à l'événement cherché.

d. équivaut successivement à :

car ln est strictement croissante sur

car

Or à près.

Donc pour n entier,

Si cette méthode précédente vous parait trop difficile, vous pouvez vous contenter d'une justification obtenue à la calculatrice en dressant un tableau de valeurs de pour n entier.

On saisit et on dresse le tableau avec et un pas de 1.

On trouve à près et à près.

Or la suite est géométrique de premier terme et de raison Cette suite est donc strictement décroissante. Donc la suite est strictement croissante.

Ainsi : ce qu'on avait trouvé plus haut.

2. Soit X la variable aléatoire correspondant au numéro de la face obtenue. Le dé étant régulier, X prend 4 valeurs 1, 2, 3 et 4, de façons équiprobables donc avec la même probabilité