Exercice corrigé Ancien programme

Exercice corrigé : Arithmétique

Soit a et b deux entiers naturels non nuls tels que

1. Restitution organisée de connaissances

Soit q et r deux entiers naturels tels que avec

a. Montrer que les diviseurs communs à a et b sont les diviseurs communs à
b et r.

b. En déduire :

2. En effectuant des divisions euclidiennes successives comme dans l'algorithme d'Euclide, montrer à l'aide de la question 1. que les diviseurs communs à a et b sont les diviseurs de

3. Application

Un chocolatier confectionne des paquets tous identiques avec les 637 œufs en chocolat noir et les 910 œufs en chocolat au lait qu'il vient de réaliser. S'il ne reste aucun œuf à la fin, quelles sont les différentes répartitions possibles de

ses paquets ?

1. avec .

a. Soit d un entier relatif.

Si d est un diviseur commun à a et à b, d divise, donc d est un

diviseur commun à b et à r.

Inversement, si d est un diviseur commun à b et r, d divise.

Les diviseurs communs à a et b sont donc ceux communs à b et r.

b. Le PGCD de a et b est le plus grand des diviseurs communs à a et à b, donc à b et à r. On en déduit

2. On effectue la division euclidienne de a par b dans :

il existe tel que avec

D'après 1., les diviseurs communs à a et b sont les diviseurs communs à b et

et.

Si : les diviseurs communs à b et 0 sont les diviseurs de b car tout

entier est diviseur de 0, et. Ainsi et les diviseurs communs à a et b sont ceux de .

Sinon, on effectue la division euclidienne de b par : il existe

tel que avec

D'après 1., les diviseurs communs à b et sont ceux de et , et :

Si : les diviseurs communs à et 0 sont les diviseurs de, et

. Ainsi et les diviseurs communs à a et b sont ceux de .

Sinon, on réitère le processus pour trouver des entiers naturels sera le premier reste nul, ce qui arrive puisque la suite des restes r1, r2, ... est une suite strictement décroissante d'entiers positifs.

On obtient alors , avec , et d'après 1., les diviseurs communs à et à sont ceux de et ,

et .

Comme , on en déduit :

,

et les diviseurs communs à a et b sont ceux de b et r1, ..., donc de et 0,

donc les diviseurs de .

Les diviseurs communs à a et b sont donc les diviseurs de PGCD (a b),

le dernier reste non nul dans cet algorithme qui n'est autre que l'algorithme

d'Euclide.

3. On note n le nombre de paquets de composition identique que pourra confectionner le chocolatier avec ses a = 637 œufs en chocolat noir et ses oeufs en chocolat au lait.

Il ne restera pas d'oeufs si, et seulement si, n divise a et b. D'après 2., cela

équivaut à n divise .

On applique l'algorithme d'Euclide à et  :

avec .

avec .

avec .

.

On en déduit .

Or avec 7 et 13 des nombres premiers.

Donc n divise si, et seulement si, n =1ou n =7 ou n = 13 ou n =19.

Les répartitions possibles des oeufs dans chaque sachet sont donc :

Si n = 1, 637 oeufs en chocolat noir et 910 oeufs en chocolat au lait.

Si n = 7, oeufs en chocolat noir et oeufs en chocolat au lait.

Sin = 13, oeufs en chocolat noir et oeufs en chocolat au lait.

Si n = 91, oeufs en chocolat noir et oeufs en chocolat au lait.

Même si on peut le regretter, c'est la répartition la plus plausible.

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