Exercice corrigé Ancien programme

Exercice corrigé : Nombres complexes

On pose

Partie A. Valeur exacte de

1. Démontrer que

2. Démontrer que et que

3. Démontrer que

4. On pose démontrer que

5. Démontrer alors que la valeur exacte de est puis déterminer celle de

Partie B. Construction d'un pentagone régulier

On considère les points A, B, C, D, E d'affixe respectivement

Soit H le point d'intersection de la droite (BE) avec l'axe des abscisses.

 

 

1. Démontrer que l'affixe de H est

2. On considère le cercle de centre W d'affixe passant par le point J d'affixe i. Ce cercle coupe l'axe des abscisses en deux points M et N (M sera le point d'abscisse positive).

a. Démontrer que l'affixe de M vaut et en déduire que H est le milieu de [OM]

b. Démontrer que l'affixe de N vaut et en déduire que le milieu de [CD] est le milieu de [ON].

3. En déduire une construction du pentagone régulier dont on connaît le centre O et le sommet A.

 

 

 

On pose

Partie A

1.

.

2. donc :

3.

4.

(car ).

5.

les solutions Z1 et Z2 de l'équation sont donc et

Or, comme Z2 étant négatif et Z1 positif,
nécessairement soit

soit

Partie B.

1. donc donc (BE) est parallèle à l'axe (Oy).

(BE) a pour équation

Donc H a pour affixe

2. a. Comme W et M appartiennent à l'axe des abscisses :

donc H est le milieu de [OM].

b. De même, Comme W et N appartiennent à l'axe des abscisses :

Montrons que

Donc l'affixe de N vaut

Le mileu de [ON] a donc pour affixe de même que celui de [CD].

3. Construisons le cercle trigonométrique et plaçons les points A(1), J(i) et

donc les points sont sur le cercle de centre O et de rayon 1.

Traçons le cercle de centre W passant par J. On obtient les points M et N, intersections de WJ avec la droite (OA) et tels que

Construisons au compas la médiatrice d1 de [OM] et celle d2 de [ON].

B et E sont les points d'intersection de d1 avec C, avec

C et D sont les points d'intersection de d2 avec C, avec

Il ne reste plus qu'à relier les points A, B, C, D et E pour obtenir le pentagone ABCDE.

 

Accéder à tous les contenus
dès 6,79€/mois

  • Les dernières annales corrigées et expliquées
  • Des fiches de cours et cours vidéo/audio
  • Des conseils et méthodes pour réussir ses examens
  • Pas de publicités
S'abonner