On pose 
Partie A. Valeur exacte de 
1. Démontrer que 
2. Démontrer que 
et que 
3. Démontrer que 
4. On pose 
démontrer que 
5. Démontrer alors que la valeur exacte de 
est 
puis déterminer celle de 
Partie B. Construction d'un pentagone régulier
On considère les points A, B, C, D, E d'affixe respectivement 
Soit H le point d'intersection de la droite (BE) avec l'axe des abscisses.
| 1. Démontrer que l'affixe de H est 2. On considère le cercle de centre W d'affixe a. Démontrer que l'affixe de M vaut b. Démontrer que l'affixe de N vaut 3. En déduire une construction du pentagone régulier dont on connaît le centre O et le sommet A. |
passant par le point J d'affixe i. Ce cercle coupe l'axe des abscisses en deux points M et N (M sera le point d'abscisse positive).
et en déduire que H est le milieu de [OM]
et en déduire que le milieu de [CD] est le milieu de [ON].
On pose 
Partie A
1. 
.
2. 
donc :
3. 
4. 
(car 
).
5. 
les solutions Z1 et Z2 de l'équation 
sont donc 
et 
Or, comme 
Z2 étant négatif et Z1 positif,
nécessairement 
soit 
soit 
Partie B.
1. 
donc 
donc (BE) est parallèle à l'axe (Oy).
(BE) a pour équation 
Donc H a pour affixe 
2. a. 
Comme W et M appartiennent à l'axe des abscisses :
donc H est le milieu de [OM].
b. De même, 
Comme W et N appartiennent à l'axe des abscisses :
Montrons que 
Donc l'affixe de N vaut 
Le mileu de [ON] a donc pour affixe 
de même que celui de [CD].
3. Construisons le cercle trigonométrique et plaçons les points A(1), J(i) et 
donc les points sont sur le cercle 
de centre O et de rayon 1.
Traçons le cercle de centre W passant par J. On obtient les points M et N, intersections de WJ avec la droite (OA) et tels que 
Construisons au compas la médiatrice d1 de [OM] et celle d2 de [ON].
B et E sont les points d'intersection de d1 avec C, avec 
C et D sont les points d'intersection de d2 avec C, avec 
Il ne reste plus qu'à relier les points A, B, C, D et E pour obtenir le pentagone ABCDE.
