On pose
Partie A. Valeur exacte de 
1. Démontrer que
2. Démontrer que et que
3. Démontrer que
4. On pose démontrer que
5. Démontrer alors que la valeur exacte de est
puis déterminer celle de
Partie B. Construction d'un pentagone régulier
On considère les points A, B, C, D, E d'affixe respectivement
Soit H le point d'intersection de la droite (BE) avec l'axe des abscisses.
1. Démontrer que l'affixe de H est 2. On considère le cercle de centre W d'affixe a. Démontrer que l'affixe de M vaut b. Démontrer que l'affixe de N vaut 3. En déduire une construction du pentagone régulier dont on connaît le centre O et le sommet A. |
On pose
Partie A
1.
.
2. donc :
3.
4.
(car
).
5.
les solutions Z1 et Z2 de l'équation
sont donc
et
Or, comme Z2 étant négatif et Z1 positif,
nécessairement soit
soit
Partie B.
1. donc
donc (BE) est parallèle à l'axe (Oy).
(BE) a pour équation
Donc H a pour affixe
2. a. Comme W et M appartiennent à l'axe des abscisses :
donc H est le milieu de [OM].
b. De même, Comme W et N appartiennent à l'axe des abscisses :
Montrons que
Donc l'affixe de N vaut
Le mileu de [ON] a donc pour affixe de même que celui de [CD].
3. Construisons le cercle trigonométrique et plaçons les points A(1), J(i) et
donc les points sont sur le cercle
de centre O et de rayon 1.
Traçons le cercle de centre W passant par J. On obtient les points M et N, intersections de WJ avec la droite (OA) et tels que
Construisons au compas la médiatrice d1 de [OM] et celle d2 de [ON].
B et E sont les points d'intersection de d1 avec C, avec
C et D sont les points d'intersection de d2 avec C, avec
Il ne reste plus qu'à relier les points A, B, C, D et E pour obtenir le pentagone ABCDE.