Exercice corrigé Ancien programme

Exercice corrigé Suites et raisonnement par récurrence

On considère les suites et définies par :

et, pour tout

1. Calculer et .

2. Montrer par récurrence que, pour tout il existe un entier tel que :

et

Voir le savoir-faire 2.

3. Définir la suite et exprimer pour tout en fonction de n.

4. En déduire les valeurs de et de sans calculer les termes qui les précèdent.

1. et

2. Pour tout soit P(n) la propriété  « il existe un entier tel que et»

  • En posant et Donc P(0) est vraie.
  • Supposons qu'il existe un entier tel qu'il existe un entier tel que et et montrons qu'il existe un entier tel que :

et

 

En posant et

  • Donc, il existe une suite telle que, pour tout

et

3. La suite vérifie et pour tout C'est une suite géométrique de premier terme 1 et de raison 7. est donc définie pour tout par 

4. et

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