Exercice corrigé

Existence d'une solution unique à une équation

On considère l'équation .

1. Soit f la fonction définie sur par .

a. Déterminer .

b. Montrer que pour tout x réel, on a .

c. Que peut-on en déduire pour les variations de la fonction f ?

2. Après avoir calculé et , montrer que l'équation admet une unique solution dans .

1. b.  étant un trinôme, déterminer son discriminant pour obtenir son signe.

2. Utiliser le second théorème des valeurs intermédiaires sur et vérifier que n'admet pas de solution dans ainsi que dans .

Existence d'une solution unique à une équation

1. a. Pour tout réel x, on a

b. Pour , on a .

Comme , est toujours strictement positif, c'est-à-dire que pour tout x réel, on a .

c. La fonction f est strictement croissante sur .

2. On a

et .

On a f continue et strictement croissante sur avec .

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation , c'est-à-dire l'équation (E), admet une unique solution dans .

De plus, comme f croît sur avec , si , alors , soit .

L'équation n'admet pas de solution dans .

De plus, comme f croît sur avec , si , alors , soit .

L'équation n'admet pas de solution dans .

L'équation admet donc une unique solution dans .

Accéder à tous les contenus
dès 6,79€/mois

  • Les dernières annales corrigées et expliquées
  • Des fiches de cours et cours vidéo/audio
  • Des conseils et méthodes pour réussir ses examens
  • Pas de publicités
S'abonner