Exercice corrigé Ancien programme

Factorielles et nombre e

1. Soit n un entier supérieur ou égal à 1.

On appelle factorielle n le nombre noté n! et défini par :

.

a. Calculer à la main 1!, 2!, 3! et 4!.

b. Comment peut-on obtenir 5! à partir de 4! en faisant une seule opération ?

c. Exprimer en fonction de n!.

2. Par convention, on pose .

Vérifier que l'on a la relation .

3. Soit n un entier naturel. On nomme Sn la somme définie par :

.

Calculer S0, S1, S2, S3 et S4 (arrondir à 0,001 près si cela est nécessaire).

4. On souhaite calculer la somme Sn pour n entier compris entre 0 et 20.

Pour cela, on utilise un tableur.

a. Préparer une feuille de calcul comme celle ci-dessous.

b. Compléter la feuille de la manière suivante :

  •  dans la cellule A3, mettre la formule et la recopier dans les cellules A4 à A22 
  •  dans la cellule B3, mettre la formule et la recopier dans les cellules B4 à B22 
  •  dans la cellule C3, mettre la formule et la recopier dans les cellules C4 à C22 
  •  dans la cellule D3, mettre la formule et la recopier dans les cellules D4 à D22.

c. De quel nombre la somme Sn semble-t-elle se rapprocher quand n prend des valeurs de plus en plus grandes ?

Factorielles et nombre e

1. a. 

b. On a .

On peut obtenir 5! en multipliant 4! par 5.

c. De même, on a : .

2. On a et .

On a bien la relation .

3. On trouve , , , et .

4. a. b. On obtient :

c. La somme Sn semble se rapprocher du nombre e quand n prend des valeurs de plus en plus grandes.

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