1. Soit n un entier supérieur ou égal à 1.
On appelle factorielle n le nombre noté n! et défini par :
.
a. Calculer à la main 1!, 2!, 3! et 4!.
b. Comment peut-on obtenir 5! à partir de 4! en faisant une seule opération ?
c. Exprimer 
en fonction de n!.
2. Par convention, on pose 
.
Vérifier que l'on a la relation 
.
3. Soit n un entier naturel. On nomme Sn la somme définie par :
.
Calculer S0, S1, S2, S3 et S4 (arrondir à 0,001 près si cela est nécessaire).
4. On souhaite calculer la somme Sn pour n entier compris entre 0 et 20.
Pour cela, on utilise un tableur.
a. Préparer une feuille de calcul comme celle ci-dessous.
b. Compléter la feuille de la manière suivante :
- dans la cellule A3, mettre la formule
et la recopier dans les cellules A4 à A22 - dans la cellule B3, mettre la formule
et la recopier dans les cellules B4 à B22 - dans la cellule C3, mettre la formule
et la recopier dans les cellules C4 à C22 - dans la cellule D3, mettre la formule
et la recopier dans les cellules D4 à D22.
c. De quel nombre la somme Sn semble-t-elle se rapprocher quand n prend des valeurs de plus en plus grandes ?
Factorielles et nombre e
1. a. 
b. On a 
.
On peut obtenir 5! en multipliant 4! par 5.
c. De même, on a : 
.
2. On a 
et 
.
On a bien la relation 
.
3. On trouve 
, 
, 
, 
et 
.
4. a. b. On obtient :
c. La somme Sn semble se rapprocher du nombre e quand n prend des valeurs de plus en plus grandes.