factorisation des nombres de mersenne

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Exercices
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Arithmétique

Cet exercice prolonge l’étude des nombres de Mersenne qui a été faite dans

l’exercice 31. On rappelle que les nombres de Mersenne sont de la forme avec p un nombre premier impair.

Soit q un facteur premier de MP 1. Quelle est la parité de q ?

2. Démontrer que p est l’ordre de 2 modulo q (c’est-à-dire que p est le plus petit entier supérieur à 1 tel que (modulo q)).

3. Démontrer que p divise

4. On écrit alors avec démontrer que m est pair et en déduire que (modulo 2 p).

5. Application : les nombres M17, M19 et M23 sont-ils premiers ?