Exercice corrigé Ancien programme

fiabilité d'un test

Une maladie contagieuse est en train de causer la disparition d'une espèce animale. 50 % des animaux sont déjà malades. Un laboratoire de recherche a mis au point un test de dépistage de cette maladie : si un animal est malade, le test est positif dans 99 % des cas  si un animal n'est pas malade, le test est positif dans 0,1 % des cas. On examine un animal de cette espèce pris au hasard.

On note M l'événement « l'animal est malade », son événement contraire et T l'événement « le test est positif ».

1. Déterminer et

Il faut simplement traduire les données de l'énoncé.

2. En déduire

Commencez par construire un arbre pondéré (savoir-faire 1) en utilisant les résultats trouvés à la question 1.

3. Le laboratoire estime qu'un test est fiable si sa valeur prédictive positive, c'est-à-dire la probabilité qu'un animal soit malade sachant que le test est positif, est supérieure à 0,999. Ce test est-il fiable ?

1. Le choix de l'animal est fait de façon équiprobable, donc :

2. De la question 1., on déduit à l'aide de la règle des nœuds que :

et

On peut alors dresser un arbre pondéré :

Seules les branches amenant à T sont utiles pour cette question, mais il vaut mieux compléter l'arbre dans sa totalité. On ne sait jamais…

On en déduit :

3. On cherche Comme

près).

donc le test n'est pas fiable.

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