Exercice corrigé Ancien programme

fonction composée

Partie A. Étude d'une fonction intermédiaire

Soit g la fonction définie sur

1. Montrer que, pour tout

2. Déterminer les racines du trinôme 3X ² – 8X + 5

3. En déduire une factorisation de g′(x).

4. Dresser le tableau de variation de g.

5. Calculer g(4).

6. En déduire le signe de g sur ainsi que les valeurs en lesquelles la fonction s'annule.

Partie B

Soit f la fonction définie sur

1. Déterminer la limite de f en

2. Limite en 0+

a. Pourquoi s'agit-il d'une forme indéterminée ?

b. Écrire sous forme d'un quotient.

c. Déterminer la limite en 0 de f.

3. Développer et dériver f (x), pour x > 0.

4. Montrer que f ′(x) est du signe de g(x) sur ]0  + ∞ [.

Dresser le tableau de variation complet de f.

 

Partie A

1. Pour tout x > 0,

2. D = 4 > 0 Donc le trinôme 3X 2 - 8X + 5 admet deux racines distinctes :

Donc 3X ² – 8X + 5 = 3(X – 1)

 

Une méthode plus rapide consiste à remarquer que 1 est solution et factoriser par (X–1) :

3X ² – 8X + 5 = (X–1)(3X–5).

 

3.

4. sur et 1 et
car la fonction carré est strictement croissante sur [0  + ∞[.

 

 

5. g(4) = 4 × 2 – 4 × 4 + 5 × 2 – 2 soit g (4) = 0.

6. g est donc strictement négative sur , strictement positive sur et nulle en 0 et en 4.

Partie B

1.

De plus, donc, par composition

2. a. , donc il s'agit d'une forme indéterminée.

b.

c. , donc, par quotient,

De plus, , donc, par composition, .

3. Soit x > 0,

Donc f ′(x)

4. Pour tout x > 0, f ′(x) est bien du signe de g(x) sur ]0  + [.

 

 

 

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