Partie A. Étude d'une fonction intermédiaire
Soit g la fonction définie sur 
1. Montrer que, pour tout 
2. Déterminer les racines du trinôme 3X ² – 8X + 5
3. En déduire une factorisation de g′(x).
4. Dresser le tableau de variation de g.
5. Calculer g(4).
6. En déduire le signe de g sur 
ainsi que les valeurs en lesquelles la fonction s'annule.
Partie B
Soit f la fonction définie sur 
1. Déterminer la limite de f en 
2. Limite en 0+
a. Pourquoi s'agit-il d'une forme indéterminée ?
b. Écrire 
sous forme d'un quotient.
c. Déterminer la limite en 0 de f.
3. Développer et dériver f (x), pour x > 0.
4. Montrer que f ′(x) est du signe de g(x) sur ]0 + ∞ [.
Dresser le tableau de variation complet de f.
Partie A
1. Pour tout x > 0, 
2. D = 4 > 0 Donc le trinôme 3X 2 - 8X + 5 admet deux racines distinctes :
Donc 3X ² – 8X + 5 = 3(X – 1)
| Une méthode plus rapide consiste à remarquer que 1 est solution et factoriser par (X–1) : 3X ² – 8X + 5 = (X–1)(3X–5). |
3. 
4. 
sur 
et 
1 et 
car la fonction carré est strictement croissante sur [0 + ∞[.
5. g(4) = 4 × 2 – 4 × 4 + 5 × 2 – 2 soit g (4) = 0.
6. g est donc strictement négative sur 
, strictement positive sur 
et nulle en 0 et en 4.
Partie B
1. 
De plus, 
donc, par composition 
2. a. 
, donc il s'agit d'une forme indéterminée.
b. 
c. 
, donc, par quotient, 
De plus, 
, donc, par composition, 
.
3. Soit x > 0, 
Donc f ′(x) 
4. Pour tout x > 0, f ′(x) 
est bien du signe de g(x) sur ]0 + •[.
