On considère la fonction f définie sur par
1. Déterminer la limite de f en − ∞.
2. On veut maintenant déterminer la limite de f en + ∞.
Pour cela, lever l'indétermination en multipliant numérateur et dénominateur par l'expression conjuguée |
3. Écrire sous forme d'un quotient.
4. Résoudre dans l'inéquation
5. Étudier le signe de sur
et en déduire les variations de f.
1. donc, par composition
de plus, donc, par somme,
2. l et
donc
C'est une forme indéterminée. Or :
Donc soit
3. Pour tout x réel,
4. Si alors
équivaut à
(car la fonction carré est strictement croissante sur
) et à
(toujours vrai).
Donc pour tout
5. Si x f ′(x)
Finalement, pour tout x réel, donc f est strictement décroissante sur .