On considère la fonction f définie sur 
par
1. Déterminer la limite de f en − ∞.
2. On veut maintenant déterminer la limite de f en + ∞.
| Pour cela, lever l'indétermination en multipliant numérateur et dénominateur par l'expression conjuguée |
3. Écrire 
sous forme d'un quotient.
4. Résoudre dans 
l'inéquation 
5. Étudier le signe de 
sur 
et en déduire les variations de f.
1. 
donc, par composition 
de plus, 
donc, par somme, 
2. l 
et 
donc 
C'est une forme indéterminée. Or :
Donc 
soit 
3. Pour tout x réel, 
4. Si 
alors 
équivaut à 
(car la fonction carré est strictement croissante sur 
) et à 
(toujours vrai).
Donc pour tout 
5. Si x f ′(x)
Finalement, pour tout x réel, 
donc f est strictement décroissante sur .