Exercice corrigé Ancien programme

fonction composée f(u)

On considère la fonction f définie sur par

1. Déterminer la limite de f en − ∞.

2. On veut maintenant déterminer la limite de f en + ∞.

Pour cela, lever l'indétermination en multipliant numérateur et dénominateur par l'expression conjuguée

3. Écrire sous forme d'un quotient.

4. Résoudre dans l'inéquation

5. Étudier le signe de sur et en déduire les variations de f.

1. donc, par composition 

de plus, donc, par somme,

2. l et donc

C'est une forme indéterminée. Or :

Donc soit

3. Pour tout x réel,

4. Si alors équivaut à (car la fonction carré est strictement croissante sur ) et à  (toujours vrai).

Donc pour tout

5. Si x f ′(x)

Finalement, pour tout x réel, donc f est strictement décroissante sur .

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