Exercice corrigé Ancien programme

fonction continue non dérivable

Soit f la fonction définie sur par

1. Déterminer la limite en + ∞ et en – ∞ de

2. Étudier alors la continuité de f en 0.

3. Étudier la dérivabilité de f en 0.

Voir la remarque en fin de paragraphe IV-2.

4. Visualiser à l'aide d'un logiciel la courbe représentative de la fonction f.

1. l Pour tout

De plus, donc, d'après le théorème des gendarmes,

  • Pour tout

(division par ).

De plus, donc, d'après le théorème des gendarmes :

La fonction sin n'admettant pas de limite à l'infini, on a commencé par encadrer sin X.

2. Pour tout

donc, par composition,

donc, par composition,

donc f est continue en 0.

3. Soit Or lorsque x tend vers 0+ ou 0, tend vers + ∞ ou – ∞ et la fonction sinus n'admet pas de limite en + ∞ ni en – ∞. Donc n'admet pas de limite en 0. Cela signifie que f n'est pas dérivable en 0.

4.

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