Soit f la fonction définie sur par
1. Calculer
2. Étudier le signe de f sur puis sur
Voir cours II : propriétés des intégrales. |
3. Calculer pour tout
Voir le cours, III.1. |
4. Dresser le tableau de variations de f sur (On n'étudiera pas les limites en 0 et
). Vérifier les réponses obtenues au 2.
Voir le savoir-faire 5. |
5. Dériver la fonction G définie pour tout par
6. En déduire :
a. la valeur de
b. la limite de f en 0
c. la limite de f en
1.
2.Sur donc pour tout
sur
et l'intégrale d'une fonction positive sur un intervalle est positive, donc :
Sur , donc pour tout
et l'intégrale d'une fonction négative sur un intervalle est négative, donc
De plus, donc
sur
3.Pour tout d'après le cours III.1.
4.
0 étant le minimum de f (x), et f étant strictement décroissante sur et strictement croissante sur
on retrouve bien le résultat du 2.
5.Pour tout
6. On en déduit que G est une primitive de ln(x). Or est la primitive de ln(x) qui s'annule en 1 d'après le cours III.1. Donc il existe un réel c tel que
donc
pour tout
D'où :
a.
b. donc
c. or
, donc