Soit f la fonction définie sur 
par 
1. Calculer 
2. Étudier le signe de f sur 
puis sur 
| Voir cours II : propriétés des intégrales. |
3. Calculer 
pour tout 
| Voir le cours, III.1. |
4. Dresser le tableau de variations de f sur 
(On n'étudiera pas les limites en 0 et 
). Vérifier les réponses obtenues au 2.
| Voir le savoir-faire 5. |
5. Dériver la fonction G définie pour tout 
par 
6. En déduire :
a. la valeur de 
b. la limite de f en 0
c. la limite de f en 
1. 
2.Sur 
donc pour tout 
sur 
et l'intégrale d'une fonction positive sur un intervalle est positive, donc :
Sur 
, donc pour tout 
et l'intégrale d'une fonction négative sur un intervalle est négative, donc 
De plus, 
donc 
sur 
3.Pour tout 
d'après le cours III.1.
4.
0 étant le minimum de f (x), et f étant strictement décroissante sur 
et strictement croissante sur 
on retrouve bien le résultat du 2.
5.Pour tout 
6. On en déduit que G est une primitive de ln(x). Or 
est la primitive de ln(x) qui s'annule en 1 d'après le cours III.1. Donc il existe un réel c tel que 
donc 
pour tout 
D'où :
a. 
b. 
donc 
c. 
or 
, donc 