Exercice corrigé Ancien programme

fonction définie par une intégrale

Soit f la fonction définie sur par

1. Calculer

2. Étudier le signe de f sur puis sur

 

Voir cours II : propriétés des intégrales.

 

3. Calculer pour tout

 

Voir le cours, III.1.

 

4. Dresser le tableau de variations de f sur (On n'étudiera pas les limites en 0 et ). Vérifier les réponses obtenues au 2.

 

Voir le savoir-faire 5.

 

5. Dériver la fonction G définie pour tout par

6. En déduire :

a. la valeur de

b. la limite de f en 0 

c. la limite de f en

1.

2.Sur donc pour tout sur et l'intégrale d'une fonction positive sur un intervalle est positive, donc :

Sur , donc pour tout et l'intégrale d'une fonction négative sur un intervalle est négative, donc

De plus, donc sur

3.Pour tout d'après le cours III.1.

4.

 

 

0 étant le minimum de f (x), et f étant strictement décroissante sur et strictement croissante sur on retrouve bien le résultat du 2.

5.Pour tout

6. On en déduit que G est une primitive de ln(x). Or est la primitive de ln(x) qui s'annule en 1 d'après le cours III.1. Donc il existe un réel c tel que

donc pour tout D'où :

a.

b. donc

c. or , donc

 

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