Exercice corrigé Ancien programme

fonction définie par une intégrale

On considère une fonction f dérivable sur l'intervalle On note sa courbe représentative dans un repère orthogonal. On donne le tableau de ses variations :

 

 

Soit g la fonction définie sur par

Partie A

1. Que représente g pour la fonction f ?

2. a. Interpréter graphiquement

b. Montrer que

 

Utiliser l'encadrement de f obtenu dans le tableau de variations.

 

3. a. Soit x un réel supérieur à 2. Montrer que , puis que En déduire que

b. Déterminer la limite de la fonction g en

4. Étudier le sens de variation de la fonction g sur l'intervalle
(la limite de g en sera étudiée dans la partie B).

 

 

 

 

Partie B

On admet que pour tout réel t,

1. a. Calculer la dérivée de la fonction 

b. En déduire une primitive F de f.

2. Vérifier que, pour tout réel x,

3. Déterminer la limite de la fonction g en

Partie A

1. g est la primitive de f qui s'annule en 0.

2. a. f est positive sur donc est égale à l'aire comprise entre les droites d'équation l'axe des abscisses et la courbe représentant f.

b. Sur f est positive, donc

De plus, le maximum de f sur cet intervalle est égal à

donc pour tout

d'où par croissance de l'intégrale,

soit

Or, d'où

3. a. Si alors

donc d'après le 2. b,

Or, si d'après le tableau de variation,

donc soit ,

soit donc

Ainsi

b. D'après le a., mais tend vers quand x tend vers donc par comparaison,

4. , donc D'après le tableau de variation de f, on déduit son signe, et donc les variations de g sur

 

Partie B

1. a. Pour tout

b. On en déduit qu'une primitive de f est définie sur par :

2. Comme g est aussi une primitive de f, il existe tel que Or, g est la primitive de f qui s'annule en 0, et donc :

3. donc on en déduit que et donc :

 

 

Accéder à tous les contenus
dès 6,79€/mois

  • Les dernières annales corrigées et expliquées
  • Des fiches de cours et cours vidéo/audio
  • Des conseils et méthodes pour réussir ses examens
  • Pas de publicités
S'abonner