Exercice corrigé Ancien programme

Fonction exponentielle et application économique

Partie A – Étude d'une fonction

On considère les fonctions f , g et h définies et dérivables pour tout nombre réel x de l'intervalle par :

, et .

On note la fonction dérivée de la fonction h sur l'intervalle .

Résolution de l'équation

1. a. Démontrer que la fonction h est strictement décroissante sur l'intervalle .

b. Dresser le tableau de variation de la fonction h.

c. Justifier que l'équation admet une solution unique α sur l'intervalle .

2. a. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous (les résultats seront arrondis à la centaine la plus proche).

x

4

4,2

4,4

4,6

4,8

5

17 400

       

x

5,2

5,4

5,6

5,8

6

   

b. Tracer la courbe représentative de la fonction h dans le plan muni d'un repère orthogonal (unités : 1 cm pour 0,2 unité en abscisses et 1 cm pour 8 000 unités en ordonnées).

c. Placer α sur ce graphique et en donner un encadrement d'amplitude .

Partie B – Application économique

Dans la suite de l'exercice, on admet que la valeur exacte du nombre réel α est égale à où ln désigne la fonction logarithme népérien.

Les fonctions f et g définies dans la partie A modélisent respectivement l'offre et la demande d'un produit de prix unitaire x, compris entre 4 et 6 euros :

  •   est la quantité, exprimée en kilogrammes, que les producteurs sont prêts à vendre au prix unitaire x 
  •   la quantité, exprimée en kilogrammes, que les consommateurs sont prêts à acheter au prix unitaire x.

On appelle prix unitaire d'équilibre du marché la valeur de x pour laquelle l'offre est égale à la demande.

1. Quel est, exprimé au centime d'euro près, le prix unitaire d'équilibre du marché ? Justifier.

2. Quelle quantité de produit, exprimée en kilogrammes, correspond à ce prix unitaire d'équilibre ?

A 1. Calculer , puis étudier son signe. Une exponentielle est toujours
positive.

Fonction exponentielle et application économique

1. a. On a : .

Pour tout réel x de , on a : .

Une exponentielle étant toujours positive, on a sur .

La fonction h est strictement décroissante sur l'intervalle .

b.

avec et .

c. h est continue et strictement décroissante sur avec .

L'équation admet une solution unique α sur l'intervalle .

2. a.

x

4

4,2

4,4

4,6

4,8

5

17 400

12 800

8 600

4 600

600

x

5,2

5,4

5,6

5,8

6

b. c. Graphiquement, on a .

1. Le prix unitaire d'équilibre du marché est la solution de ce qui est équivalent à  : c'est donc α, qui vaut d'après l'énoncé, soit environ 4,83.

Le prix unitaire d'équilibre du marché est 4,83  au centime d'euro près.

2. On a : .

8 000 kg de produit correspond à ce prix unitaire d'équilibre.

B 2. On peut aussi calculer .

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