Partie A – Étude d'une fonction
On considère les fonctions f , g et h définies et dérivables pour tout nombre réel x de l'intervalle 
par :
, 
et 
.
On note 
la fonction dérivée de la fonction h sur l'intervalle 
.
Résolution de l'équation 
1. a. Démontrer que la fonction h est strictement décroissante sur l'intervalle 
.
b. Dresser le tableau de variation de la fonction h.
c. Justifier que l'équation 
admet une solution unique α sur l'intervalle 
.
2. a. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous (les résultats seront arrondis à la centaine la plus proche).
| x | 4 | 4,2 | 4,4 | 4,6 | 4,8 | 5 |
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| 17 400 |
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| x | 5,2 | 5,4 | 5,6 | 5,8 | 6 |
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b. Tracer la courbe représentative 
de la fonction h dans le plan muni d'un repère orthogonal (unités : 1 cm pour 0,2 unité en abscisses et 1 cm pour 8 000 unités en ordonnées).
c. Placer α sur ce graphique et en donner un encadrement d'amplitude 
.
Partie B – Application économique
Dans la suite de l'exercice, on admet que la valeur exacte du nombre réel α est égale à 
où ln désigne la fonction logarithme népérien.
Les fonctions f et g définies dans la partie A modélisent respectivement l'offre et la demande d'un produit de prix unitaire x, compris entre 4 et 6 euros :
-
est la quantité, exprimée en kilogrammes, que les producteurs sont prêts à vendre au prix unitaire x -
la quantité, exprimée en kilogrammes, que les consommateurs sont prêts à acheter au prix unitaire x.
On appelle prix unitaire d'équilibre du marché la valeur de x pour laquelle l'offre est égale à la demande.
1. Quel est, exprimé au centime d'euro près, le prix unitaire d'équilibre du marché ? Justifier.
2. Quelle quantité de produit, exprimée en kilogrammes, correspond à ce prix unitaire d'équilibre ?
A 1. Calculer 
, puis étudier son signe. Une exponentielle est toujours
positive.
Fonction exponentielle et application économique
1. a. On a : 
.
Pour tout réel x de 
, on a : 
.
Une exponentielle étant toujours positive, on a 
sur 
.
La fonction h est strictement décroissante sur l'intervalle 
.
b.
avec 
et 
.
c. h est continue et strictement décroissante sur 
avec 
.
L'équation 
admet une solution unique α sur l'intervalle 
.
2. a.
| x | 4 | 4,2 | 4,4 | 4,6 | 4,8 | 5 |
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| 17 400 | 12 800 | 8 600 | 4 600 | 600 |
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| x | 5,2 | 5,4 | 5,6 | 5,8 | 6 |
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b. c. Graphiquement, on a 
.
1. Le prix unitaire d'équilibre du marché est la solution de 
ce qui est équivalent à 
: c'est donc α, qui vaut 
d'après l'énoncé, soit environ 4,83.
Le prix unitaire d'équilibre du marché est 4,83 € au centime d'euro près.
2. On a : 
.
8 000 kg de produit correspond à ce prix unitaire d'équilibre.
B 2. On peut aussi calculer 
.