Partie A – Étude d’une fonction
On considère les fonctions f , g et h définies et dérivables pour tout nombre réel x de l’intervalle 
par :
, 
et 
.
On note 
la fonction dérivée de la fonction h sur l’intervalle 
.
Résolution de l’équation 
1. a. Démontrer que la fonction h est strictement décroissante sur l’intervalle 
.
b. Dresser le tableau de variation de la fonction h.
c. Justifier que l’équation 
admet une solution unique α sur l’intervalle 
.
2. a. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous (les résultats seront arrondis à la centaine la plus proche).
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x |
4 |
4,2 |
4,4 |
4,6 |
4,8 |
5 |
|
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17 400 |
|
|
x |
5,2 |
5,4 |
5,6 |
5,8 |
6 |
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|
|
|
b. Tracer la courbe représentative 
de la fonction h dans le plan muni d’un repère orthogonal (unités : 1 cm pour 0,2 unité en abscisses et 1 cm pour 8 000 unités en ordonnées).
c. Placer α sur ce graphique et en donner un encadrement d’amplitude 
.
Partie B – Application économique
Dans la suite de l’exercice, on admet que la valeur exacte du nombre réel α est égale à 
où ln désigne la fonction logarithme népérien.
Les fonctions f et g définies dans la partie A modélisent respectivement l’offre et la demande d’un produit de prix unitaire x, compris entre 4 et 6 euros :
-
est la quantité, exprimée en kilogrammes, que les producteurs sont prêts à vendre au prix unitaire x ; -
la quantité, exprimée en kilogrammes, que les consommateurs sont prêts à acheter au prix unitaire x.
On appelle prix unitaire d’équilibre du marché la valeur de x pour laquelle l’offre est égale à la demande.
1. Quel est, exprimé au centime d’euro près, le prix unitaire d’équilibre du marché ? Justifier.
2. Quelle quantité de produit, exprimée en kilogrammes, correspond à ce prix unitaire d’équilibre ?
A 1. Calculer 
, puis étudier son signe. Une exponentielle est toujours
positive.
