Exercice corrigé Ancien programme

Fonction partie entière

Pour tout réel x, on appelle partie entière de x, et on note E(x), l'unique entier n

qui vérifie n x n + 1.

E(p) = 3 car 3 p E(- 4,5) = –5 car -5 - 3,5 E(12) = 12 car 12 12

1. Donner les valeurs de E(15,999), E(-25), .

2. On a tracé ci-dessous la courbe représentative de la fonction partie entière.

Encadrer E(x) par deux fonctions affines.

3. Soit g la fonction définie sur

a. Déduire de la question 2. un encadrement de g(x).

b. Déterminer la limite en – ∞ de g(x).

 

1. E(15,999) = 15, E(–25) = −25, E = 1, .

2. Pour tout x réel, x–1 E(x) x.

En effet, notons n = E(x). Alors n x n + 1, d'où E(x) x.

De l'inégalité (1), on déduit, en soustrayant 1 à chaque membre :

n – 1 x – 1 n
x – 1E(x)

x–1 E(x) x.

3. a. Pour tout x réel :

b.

De même,

D'après le théorème des gendarmes,

 

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