Pour tout réel x, on appelle partie entière de x, et on note E(x), l'unique entier n
qui vérifie n ≤ x n + 1.
E(p) = 3 car 3 ≤ p E(- 4,5) = –5 car -5 ≤ - 3,5 E(12) = 12 car 12 ≤ 12
1. Donner les valeurs de E(15,999), E(-25), 
.
2. On a tracé ci-dessous la courbe représentative de la fonction partie entière.
Encadrer E(x) par deux fonctions affines.
3. Soit g la fonction définie sur 
a. Déduire de la question 2. un encadrement de g(x).
b. Déterminer la limite en – ∞ de g(x).
1. E(15,999) = 15, E(–25) = −25, E
= 1, 
.
2. Pour tout x réel, x–1 E(x) ≤ x.
En effet, notons n = E(x). Alors n ≤ x n + 1, d'où E(x) ≤ x.
De l'inégalité (1), on déduit, en soustrayant 1 à chaque membre :
n – 1 ≤ x – 1 n
x – 1E(x)
x–1 E(x) ≤ x.
3. a. Pour tout x réel :
b. 
De même, 
D'après le théorème des gendarmes, 