Exercice corrigé

fonctions homographiques : image de droites, cercles, lieux géométriques

Soit f l'application de dans qui, à tout , associe :

On note A, M et M′ les points d'affixe respectives 1, z et f (z).

1. Déterminer l'ensemble des points M tels que soit réel.

2. Déterminer l'ensemble des points M tels que soit imaginaire pur.

3. a. Résoudre dans l'équation

b. Déterminer l'ensemble des points M tels que

4. Déterminer l'ensemble des points M tels que

5. a. Démontrer que

b. Déterminer l'image par f du cercle () de centre A et de rayon

 

 

 

1. On pose

L'ensemble cherché est donc la droite d'équation privé du point A.

2. f (z) est imaginaire pur équivaut à

c'est-à-dire

L'ensemble cherché est donc le cercle de centre et de rayon privé de A.

3. a.

b. Soit

Finalement, l'ensemble cherché est le cercle de diamètre [AB] privé de A et B.

4.

L'ensemble cherché est donc la droite d'équation

 

Autre méthode possible :

La droite cherchée est la médiatrice de [AB].

 

5. a.

b.

L'image de par f est donc le cercle de centre A et de rayon

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