Exercice corrigé Ancien programme

Forfait téléphonique

Julie possède depuis plusieurs mois un téléphone mobile pour lequel elle a souscrit un forfait mensuel de deux heures. Soucieuse de bien gérer ses dépenses, elle étudie l'évolution de ses consommations.

Elle a constaté que :

– si, pendant le mois noté n, elle a dépassé son forfait, la probabilité qu'elle le dépasse le mois suivant, noté , est 0,2 

– si, pendant le mois noté n, elle n'a pas dépassé son forfait, la probabilité qu'elle le dépasse le mois suivant, noté , est 0,4.

De plus, la probabilité que Julie dépasse son forfait le premier mois est .

1. On note En(pn qn) l'état probabiliste du n-ième mois avec pn la probabilité que Julie dépasse son forfait le n-ième mois et qn la probabilité de l'événement contraire.

a. Donner p1, q1.

b. En déduire E1.

2. Soit M la matrice .

M s'appelle matrice de transition de l'état En à l'état En+1. On a , pour tout entier naturel n.

a. Calculer E2 et E3.

b. Quelle est la probabilité que Julie dépasse son forfait le deuxième mois ? Et le troisième mois ?

3. On rappelle que, pour n entier , avec n facteurs M.

On admet que, pour tout entier naturel n non nul, on a :

.

a. En déduire l'expression de en fonction de pour

b. Quand n tend vers + , tend vers 0.

Vers quel état tend quand n tend vers + ∞ ?

c. Interpréter ce résultat.

forfait téléphonique

1. a. et .

b. On a , soit .

2. a.

b. On a , donc . La probabilité que Julie dépasse son forfait le deuxième mois est 0,3.

On a , donc . La probabilité que Julie dépasse son forfait le troisième mois est 0,34.

3. a.

b. Quand n tend vers , tend vers et En aussi.

c. Au fur et à mesure que le temps passe, la probabilité que Julie dépasse son forfait au cours d'un mois est de plus en plus proche de .

1.a. Si deux événements sont contraires, alors la probabilité de l'un vaut 1 diminué de la probabilité de l'autre.

3.b. Pour tout réel a compris entre - 1 et 1, la limite quand n tend vers + de an est 0.

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