Graphe probabiliste à deux sommets

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Exercices
Classe(s) : Tle ES

On considère un graphe probabiliste à deux sommets, de matrice de transition , où a et b sont deux réels strictement compris entre 0 et 1. On note l’état stable.

1. a. Exprimer x en fonction de a et de b.

b. À quelle condition sur a et b obtient-on un état stable représenté par la matrice  ?

c. Peut-on avoir un état stable de matrice ou  ?

2. a. On note l’état probabiliste à l’étape n.

En écrivant , montrer que pour tout , .

b. Montrer que la suite (un) définie par est une suite géométrique dont on précisera la raison.

c. En déduire les expressions de un et de xn en fonction de n.

d. Préciser la limite de (un) et en déduire celle de (xn). Commenter le résultat obtenu.

3. On cherche maintenant à étudier à quelle vitesse l’état probabiliste à l’étape n converge vers l’état stable.

L’étude générale étant un peu délicate, on se contente d’un exemple. On prend désormais et .

On suppose aussi que l’état probabiliste initial est représenté par la matrice .

À partir de quelle étape la différence entre xn et sa limite est-elle inférieure à 0,01 ?

On rappelle que dans une matrice de transition d’un graphe probabiliste, la somme des termes d’une ligne est égale à 1. Il en est de même des matrices-ligne représentant les états probabilistes.