graphe probabiliste à deux sommets

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Exercices
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Matrices et applications

Lors d’une partie de fléchettes, un joueur envoie une à une des fléchettes vers une cible. La tentative est réussie quand la fléchette atteint la cible, elle échoue dans le cas contraire. Pour la 1e fléchette, les chances de réussite ou d’échec sont égales. Pour chaque lancer suivant, la probabilité qu’il réussisse dépend uniquement du résultat du lancer précédent :

Elle est de 0,7 quand le lancer précédent atteint la cible.

Elle est de 0,4 quand il a échoué.

On note :

l’événement « La fléchette atteint la cible ».

l’événement « Le lancer a échoué ».

1. La partie ne comporte que deux fléchettes. Traduire la situation à l’aide d’un arbre pondéré. En déduire la probabilité pour que la 2e fléchette atteigne la cible.

Dans toute la suite de l’exercice, n désigne un entier supérieur ou égal à 1 et on considère que le jeu se déroule avec n fléchettes.

On désigne par la probabilité d’atteindre la cible lors du lancer et par la probabilité que ce lancer échoue.

On note la matrice colonne qui traduit l’état probabiliste lors du lancer.

La matrice traduit donc l’état probabiliste lors du 1er lancer.

2. a. Représenter la situation à l’aide d’un graphe probabiliste.

b. Donner l’état

3. a. Soit Écrire l’égalité matricielle liant et la matrice de transition A associée au graphe probabiliste.

Voir le savoir-faire 5.

b. Montrer que pour tout entier

Quelle relation simple a-t-on entre  ?

4. Soit la suite définie, pour tout entier naturel

a. Montrer que la suite est une suite géométrique de raison

b. En déduire puis en fonction de n.

c. Calculer la limite de quand n tend vers l’infini. Interpréter cette limite.