Graphes probabilistes et météo

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Exercices
Classe(s) : Tle ES

Les deux parties du problème sont indépendantes.

Partie A

Dans une région, on considère trois types de temps : beau, variable, pluvieux.

S’il fait beau un jour donné, la probabilité qu’il fasse beau le lendemain est
et la probabilité qu’il pleuve est .

Si le temps est variable, la probabilité qu’il soit variable le lendemain est
et la probabilité qu’il pleuve est .

S’il pleut, la probabilité qu’il pleuve le lendemain est et la probabilité qu’il fasse beau est .

On note B : « le temps est beau », V : « le temps est variable », et P : « le temps est pluvieux ».

1. Représenter la situation par un graphe probabiliste.

2. Écrire la matrice de transition M de ce graphe (ranger les sommets B, V et P dans cet ordre).

3. Pour tout entier naturel n, l’état probabiliste dans n jours est défini par la matrice ligne , où bn désigne la probabilité qu’il fasse beau dans n jours, vn la probabilité que le temps soit variable dans n jours, et pn la probabilité qu’il pleuve dans n jours.

Aujourd’hui, il fait beau, l’état probabiliste initial est donc .

a. Quelle est la probabilité qu’il fasse beau dans deux jours ?

b. Déterminer la probabilité de chaque type de temps dans sept jours.

Partie B

Dans une autre région, on note B : « il fait beau » et  : « il ne fait pas beau ». Les variations du temps sont données par le graphe suivant :

1. Écrire la matrice de transition T de ce graphe.

2. Comme dans la partie A, on note bn la probabilité qu’il fasse beau dans n jours (pour tout entier naturel n). L’état probabiliste dans n jours se note alors . Aujourd’hui, il fait beau, l’état probabiliste initial est donc .

a. Montrer que pour tout , .

b. On pose, pour tout , . Montrer que est une suite géométrique de raison .

c. En déduire l’expression de bn en fonction de n.

d. Déterminer la limite de la suite .

3. On note , où x et y sont deux réels tels que .

a. Déterminer x et y de telle façon que .

b. Commenter les résultats obtenus aux questions 2.d. et 3.a. Comment appelle-t-on S ? Dépend-il de l’état initial P0 ?