Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On considère la fonction f définie sur par
.
1. Un logiciel de calcul formel a permis d'obtenir et
.
Montrer que la fonction f est convexe sur .
2. Écrire une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 0.
3. En déduire que pour tout ,
.
Inégalité de Bernoulli
1. Si ,
et pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2,
. De plus,
. On a donc
. Ainsi,
est croissante sur
, ce qui signifie que f est convexe sur
.
2. Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d'abscisse 0 est : . Comme
et
, cette équation s'écrit
.
3. D'après la définition du cours, la courbe de la fonction f est au-dessus de toutes ses tangentes, en particulier de celle dont on vient d'obtenir une équation. Ainsi, pour tout ,
.
1. Le calcul de dérivée a été donné par un logiciel de calcul formel. Pour retrouver ce résultat, on utilise la formule (hors programme) lorsque u est une fonction dérivable.
Si , on obtient
, puis
.