Exercice corrigé Ancien programme

Inégalité de bernoulli

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On considère la fonction f définie sur par .

1. Un logiciel de calcul formel a permis d'obtenir et .

Montrer que la fonction f est convexe sur .

2. Écrire une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 0.

3. En déduire que pour tout , .

Inégalité de Bernoulli

1. Si , et pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, . De plus, . On a donc . Ainsi, est croissante sur , ce qui signifie que f est convexe sur .

2. Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d'abscisse 0 est : . Comme et , cette équation s'écrit .

3. D'après la définition du cours, la courbe de la fonction f est au-dessus de toutes ses tangentes, en particulier de celle dont on vient d'obtenir une équation. Ainsi, pour tout , .

1. Le calcul de dérivée a été donné par un logiciel de calcul formel. Pour retrouver ce résultat, on utilise la formule (hors programme) lorsque u est une fonction dérivable.

Si , on obtient , puis .

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