Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On considère la fonction f définie sur 
par 
.
1. Un logiciel de calcul formel a permis d'obtenir 
et 
.
Montrer que la fonction f est convexe sur 
.
2. Écrire une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 0.
3. En déduire que pour tout 
, 
.
Inégalité de Bernoulli
1. Si 
, 
et pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, 
. De plus, 
. On a donc 
. Ainsi, 
est croissante sur 
, ce qui signifie que f est convexe sur 
.
2. Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d'abscisse 0 est : 
. Comme 
et 
, cette équation s'écrit 
.
3. D'après la définition du cours, la courbe de la fonction f est au-dessus de toutes ses tangentes, en particulier de celle dont on vient d'obtenir une équation. Ainsi, pour tout 
, 
.
1. Le calcul de dérivée a été donné par un logiciel de calcul formel. Pour retrouver ce résultat, on utilise la formule (hors programme) 
lorsque u est une fonction dérivable.
Si 
, on obtient 
, puis 
.