Exercice corrigé Ancien programme

intégration par parties

1. Soient u et v deux fonctions dérivables sur un même intervalle I, continues et telles que leurs dérivées soient continues sur cet intervalle.

a. Rappeler la dérivée du produit de fonctions

b. Démontrer que, pour tous réels a et b de l'intervalle I :

Cette méthode s'appelle l'intégration par parties.

2. Application.

Calculer, à l'aide d'intégration(s) par parties :

a. On posera ici

Commencer par choisir une primitive u de la fonction et calculer v ′.

b. On posera ici

Que se passe-t-il si l'on pose ?

c.

On pourra faire deux intégrations par parties successives.

d. Soit On posera ici

1. a. La dérivée du produit est .

b. On sait que si F est une primitive de la fonction continue f :

Or, est une primitive de la fonction D'où :

D'où :

2. a. On peut poser (qui est bien une primitive de la fonction ), et :

b.

Si l'on pose et on peut poser (qui est bien une primitive de la fonction ), et on a

L'intégration par parties donne alors  Ce résultat n'est pas exploitable car nous ne connaissons pas de primitive de

c. Posons Alors on peut poser
(qui est bien une primitive de la fonction sinus), et

On pose ensuite deux nouvelles fonctions u et v : alors

d. d'où :

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