Exercice corrigé Ancien programme

intervalle de fluctuation

Les baguettes du batteur Travis Baker (du groupe Blink 182) mesurent 414 mm de long. Le fabricant certifie en fait que la longueur L, en mm, d'une baguette produite dans son usine suit une loi normale de moyenne 414 et d'écart-type 1.

1. Montrer que

2. Le contrat stipule que les baguettes livrées à Travis doivent avoir une longueur comprise entre 413 mm et 415 mm. On prélève 100 baguettes au hasard produites au cours d'une journée. On suppose que le nombre total de baguettes produites est suffisant pour qu'on puisse assimiler ce contrôle à 100 tirages successifs identiques indépendants d'une même épreuve de Bernoulli de paramètre

a. Donner l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence des baguettes conformes.

Voir le cours, V.

b. Sur les 100 baguettes testées, 61 sont conformes. Faut-il, au seuil de 95 %, procéder à un réglage de la machine ?

1. L suit une loi normale de moyenne et d'écart-type , donc :

donc, d'après le cours IV. 2 :

à près.

Autre méthode à la calculatrice

Texas : normalcdf(413, 415, 414, 1)

Casio : Ncd(Lower : 413 Upper : 415 : 1 : 414).

2. a. Si on appelle succès le fait qu'une baguette est conforme, c'est-à-dire que sa longueur est comprise dans l'intervalle , chaque tirage peut s'assimiler à une épreuve de Bernoulli de paramètre . En répétant 100 fois cette même épreuve de Bernoulli de façon indépendante, le nombre X de baguettes conformes, correspondant au nombre de succès du schéma de Bernoulli, suit une loi binomiale .

et ,

donc on peut utiliser l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % pour la fréquence des baguettes conformes donné par :

(les bornes ont été arrondies à 0,01 près).

b. On observe une fréquence de baguettes conformes dans le lot : f est dans l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 %, donc on ne procèdera pas au réglage de la machine.

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