Exercice corrigé Ancien programme

Inverse de matrice

On considère les matrices et

1. Calculer et En déduire pour tout entier la valeur de

2. À tout nombre réel x, on associe la matrice notée où :

(1)

a. Déterminer et

b. Écrire la matrice

3. a. x et y étant deux nombres réels quelconques, calculer en utilisant la relation (1) le produit

b. Montrer l'égalité :

(2)

c. En utilisant les résultats de la question 2., déterminer le nombre réel x′ tel que :

4. Montrer que les matrices sont inversibles et donner leurs inverses.

1. Donc, pour tout entier soit

2. a.

b.

3. a. Soient x, y des réels.

Les puissances de A commutent, d'où :

donc

b. d'où:

c. Soit

Donc, en posant

4. d'après 2. a., donc

B est inversible et

donc D'après 3. c.,

C est donc inversible et

 

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