On considère les matrices et
1. Calculer et
En déduire pour tout entier
la valeur de
2. À tout nombre réel x, on associe la matrice notée où :
(1)
a. Déterminer et
b. Écrire la matrice
3. a. x et y étant deux nombres réels quelconques, calculer en utilisant la relation (1) le produit
b. Montrer l'égalité :
(2)
c. En utilisant les résultats de la question 2., déterminer le nombre réel x′ tel que :
4. Montrer que les matrices sont inversibles et donner leurs inverses.
1. Donc, pour tout entier
soit
2. a.
b.
3. a. Soient x, y des réels.
Les puissances de A commutent, d'où :
donc
b. d'où:
c. Soit
Donc, en posant
4. d'après 2. a., donc
B est inversible et
donc
D'après 3. c.,
C est donc inversible et