On considère les matrices 
et 
1. Calculer 
et 
En déduire pour tout entier 
la valeur de 
2. À tout nombre réel x, on associe la matrice notée 
où :
(1)
a. Déterminer 
et 
b. Écrire la matrice 
3. a. x et y étant deux nombres réels quelconques, calculer en utilisant la relation (1) le produit 
b. Montrer l'égalité :
(2)
c. En utilisant les résultats de la question 2., déterminer le nombre réel x′ tel que :
4. Montrer que les matrices 
sont inversibles et donner leurs inverses.
1. 
Donc, pour tout entier 
soit 
2. a. 
b. 
3. a. Soient x, y des réels.
Les puissances de A commutent, d'où :
donc 
b. 
d'où:
c. Soit 
Donc, en posant 
4. 
d'après 2. a., donc 
B est inversible et 
donc 
D'après 3. c., 
C est donc inversible et 