l’urne secrète.

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Exercices
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Estimation

Un sac contient 400 billes indiscernables au toucher. Chacune est noire ou rouge, mais on ne connait pas la répartition exacte de chaque couleur.

1. On répète 50 fois l’expérience suivante : on tire une bille au hasard et on note sa couleur, puis on la remet dans l’urne. Sur les 50 billes obtenues, 16 sont rouges.

a. Donner, avec un niveau de confiance 0,95, un encadrement de la proportion de billes rouges dans le sac.

Voir le cours VI et le savoir-faire 4.

b. Pour en avoir le cœur net, on vide le sac et on compte : il y avait en fait 190 billes rouges dans le sac.

Était-ce prévisible aux vues de l’intervalle de confiance précédent ?

2. La fréquence observée étant bien en-dessous de la valeur réelle de la proportion de billes rouges, on s’interroge sur la façon dont ont été réalisés les 50 tirages précédents.

a. À l’aide du logiciel Algobox, simuler 100 fois l’expérience précédente
(50 tirages successifs avec remise) et comptabiliser le nombre de simulations où l’on a tiré 16 billes rouges ou moins. Que constatez-vous ?

L’épreuve de Bernoulli correspondant au tirage d’une boule rouge, de paramètre peut être simulée avec floor(random()+190/400) qui renvoie 1 avec probabilité et 0 sinon. La variable x comptabilisera au fur et à mesure le nombre de boules rouges tirées.

b. Écrire l’intervalle de fluctuation asymptotique de la proportion de billes rouges obtenues sur 50 tirages successifs indépendants avec remise.

Voir le cours, V.

c. Que peut-on en conclure au seuil de 95 % pour la qualité des 50 tirages réalisés au 1. ?

d. Quelle est la probabilité qu’on ait rejeté à tort cette série de 50 tirages ?

On cherche la probabilité pour qu’on obtienne effectivement 16 billes rouges au cours de 50 tirages successifs avec remise dans cette urne.