Exercice corrigé Ancien programme

l'urne secrète.

Un sac contient 400 billes indiscernables au toucher. Chacune est noire ou rouge, mais on ne connait pas la répartition exacte de chaque couleur.

1. On répète 50 fois l'expérience suivante : on tire une bille au hasard et on note sa couleur, puis on la remet dans l'urne. Sur les 50 billes obtenues, 16 sont rouges.

a. Donner, avec un niveau de confiance 0,95, un encadrement de la proportion de billes rouges dans le sac.

Voir le cours VI et le savoir-faire 4.

b. Pour en avoir le cœur net, on vide le sac et on compte : il y avait en fait 190 billes rouges dans le sac.

Était-ce prévisible aux vues de l'intervalle de confiance précédent ?

2. La fréquence observée étant bien en-dessous de la valeur réelle de la proportion de billes rouges, on s'interroge sur la façon dont ont été réalisés les 50 tirages précédents.

a. À l'aide du logiciel Algobox, simuler 100 fois l'expérience précédente
(50 tirages successifs avec remise) et comptabiliser le nombre de simulations où l'on a tiré 16 billes rouges ou moins. Que constatez-vous ?

L'épreuve de Bernoulli correspondant au tirage d'une boule rouge, de paramètre peut être simulée avec floor(random()+190/400) qui renvoie 1 avec probabilité et 0 sinon. La variable x comptabilisera au fur et à mesure le nombre de boules rouges tirées.

b. Écrire l'intervalle de fluctuation asymptotique de la proportion de billes rouges obtenues sur 50 tirages successifs indépendants avec remise.

Voir le cours, V.

c. Que peut-on en conclure au seuil de 95 % pour la qualité des 50 tirages réalisés au 1. ?

d. Quelle est la probabilité qu'on ait rejeté à tort cette série de 50 tirages ?

On cherche la probabilité pour qu'on obtienne effectivement 16 billes rouges au cours de 50 tirages successifs avec remise dans cette urne.

1. Soit p la proportion de billes rouges effectivement présentes dans le sac. Si on appelle succès le fait d'obtenir une boule rouge, chaque tirage peut être assimilé à une épreuve de Bernoulli de paramètre p. Le nombre total de boules rouges obtenu, c'est-à-dire le nombre de succès dans la répétition de ces 50 épreuves de Bernoulli de paramètre p identiques et indépendantes, est une variable aléatoire X suivant une loi binomiale de paramètres et p.

a. La fréquence observée sur ce tirage est .

, donc l'intervalle de confiance au niveau 0,95 pour la fréquence de succès

Ainsi, au niveau de confiance 0,95,

ce équivaut à

soit en arrondissant les bornes à 0,001 près.

Voir le savoir-faire 4.

b. Donc . Cette valeur n'est pas dans l'intervalle de confiance au niveau 0,95 : ce résultat n'était pas prévu !

2. a.

1 VARIABLES

2 x EST_DU_TYPE NOMBRE

3 i EST_DU_TYPE NOMBRE

4 S EST_DU_TYPE NOMBRE

5 k EST_DU_TYPE NOMBRE

6 DEBUT_ALGORITHME

7 POUR k ALLANT_DE 1 A 100

8 DEBUT_POUR

9 x PREND_LA_VALEUR 0

10 POUR i ALLANT_DE 1 A 50

11 DEBUT_POUR

12 x PREND_LA_VALEUR x+floor(random()+190/400)

13 FIN_POUR

14 SI (x

15 DEBUT_SI

16 S PREND_LA_VALEUR S+1

17 FIN_SI

18 FIN_POUR

19 AFFICHER S

20 FIN_ALGORITHME

Sans autre indication, S prend initialement la valeurs O, mais il faut bien penser à réinitialiser la valeur de x avant chacun des 50 tirages.

En faisant tourner cet algorithme une vingtaine de fois, j'obtiens entre 0 et 5 simulations sur 100 qui donnent 16 boules rouges ou moins. C'est bien un événement rarement observé.

b. Le nombre total de boules rouges obtenu, c'est-à-dire le nombre de succès dans la répétition de ces 50 épreuves de Bernoulli de paramètre identiques et indépendantes, est une variable aléatoire X suivant une loi binomiale de paramètres . Comme , on en déduit l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % pour la proportion de billes rouges (fréquence de succès) :

en arrondissant les bornes à 0,001 près.

c. La fréquence observée au cours des 50 tirages du 1. est de . Elle n'est pas dans l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %, donc le tirage n'est pas conforme à la répartition réelle des billes rouges dans la population totale. Donc ce tirage ne s'est pas réalisé correctement au risque de 5 %.

Voir le savoir-faire 4.

d. Le nombre X de billes rouges suit une loi , donc :

près.

se calcule directement à la calculatrice : 50 16.

On trouve, à l'aide du tableur - en utilisant la formule

= LOI.BINOMIALE - que à 0,001 près.

Donc : on se situe bien à gauche de l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % vu en première.

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