Exercice corrigé

A la kermesse


À la kermesse de l'école, une tombola est organisée : 250 billets, numérotés de 1 à 250, sont vendus 2 euros chacun à 250 personnes différentes.

Après tirage, on apprend que tous les billets dont le numéro finit par 3 rapportent 10 euros, et ceux dont les numéros finissent par 20 ou 65 rapportent 30 euros.

Dans chacun des calculs demandés, donner les valeurs exactes et cela sous forme décimale si c'est possible.

1. On interroge au hasard une personne ayant acheté un billet.

Quelle est la probabilité d'interroger :

a. une personne ayant un billet gagnant 30 euros ?

b. une personne ayant un billet gagnant ?

c. une personne ayant reçu 30 euros sachant que cette personne avait un billet gagnant ?

2. À chaque personne ayant acheté un billet, on associe son gain X, la différence entre ce qu'elle reçoit et les 2 euros versés pour avoir un billet (le gain peut être négatif).

a. Donner les différentes valeurs possibles de X et établir la loi de probabilité du gain X.

b. Calculer l'espérance mathématique de cette loi. Si l'on avait pu connaître à l'avance la répartition et le montant des gains, l'achat d'un billet aurait-il été conseillé ?

Pour obtenir le bon conseil, n'oubliez pas de tenir compte du prix d'un billet.


1. a. Il y a équiprobabilité entre les 250 personnes ayant acheté un billet.

Seules les 5 personnes ayant les numéros 20, 65, 120, 165 et 220 gagnent 30 euros.

.

Il y a en plus 25 personnes qui ont un billet finissant par le chiffre 3.

b. Il y a donc en tout  billets gagnants.

.

c. 5 personnes parmi les 30 gagnants ont gagné 30 euros.

.

2. a. Avec un billet rapportant 30 euros, on a   donc :

.

Avec un billet rapportant 10 euros, on a et il y a 25 billets rapportant 10 euros  donc .

Comme il y a 30 billets gagnants, il y a 220 billets perdants pour lesquels on a :

 

.

xi

8

28

pi

0,88

0,10

0,02

b. .

L'espérance mathématique de cette loi est . En moyenne, les personnes perdent 40 centimes d'euro par billet.

Mathématiquement, l'achat d'un billet doit être déconseillé.

1. Comme on interroge au hasard, c'est une situation d'équiprobabilité, ce qui permet d'utiliser la formule : .

2. Le gain est la différence (positive ou négative) entre l'argent éventuellement perçu et l'argent dépensé pour acheter le billet.

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