La suite est définie par
et pour tout
,
.
1. a. Démontrer que pour tout, ,
.
Après avoir examiné u3, on pourra risonner par l’absurde pour , comme à l’exercice 11.
b. En déduire que pour tout ,
.
c. Que peut-on en déduire quant à la limite de quand n tend vers
?
2. On définit la suite , pour tout
, par
.
a. Démontrer que est une suite géométrique décroissante dont on donnera la raison et le premier terme.
b. Démontrer que pour tout ,
.
c. Vérifier que , pour tout
, où
est une suite géométrique et
une suite arithmétique, dont on précisera pour chacune le premier terme et la raison.
3. En déduire l’expression de en fonction de n.
Comme à l’exercice 10, question 6. :
On scinde la somme Sn en deux sommes des premiers termes d’une suite arithmétique et d’une suite géométrique.