La suite est définie par et pour tout , .

1. a. Démontrer que pour tout, , .

Après avoir examiné u3, on pourra risonner par l'absurde pour , comme à l'exercice 11.

b. En déduire que pour tout , .

c. Que peut-on en déduire quant à la limite de quand n tend vers ?

2. On définit la suite , pour tout , par .

a. Démontrer que est une suite géométrique décroissante dont on donnera la raison et le premier terme.

b. Démontrer que pour tout , .

c. Vérifier que , pour tout , où est une suite géométrique et une suite arithmétique, dont on précisera pour chacune le premier terme et la raison.

3. En déduire l'expression de en fonction de n.

Comme à l'exercice 10, question 6. :

On scinde la somme Sn en deux sommes des premiers termes d'une suite arithmétique et d'une suite géométrique.

1. a. .

Raisonnons par l'absurde : supposons qu'il existe un rang pour lequel . Soit le plus petit de ces entiers n. Alors , donc .

Or avec :

Il y a une contradiction, donc l'hypothèse est fausse, et pour tout , .

Vous verrez en terminale le principe de démonstration par récurrence qui affirme qu'une propriété « initialisable » (ici ) vraie de proche en proche (si , alors ) ou « héréditaire », est vraie pour tout .

b. Soit : , donc .

Alors . Or ,

donc si on pose , alors et .

Donc, pour tout , on a .

c. tend vers quand , donc un étant supérieur à :

2. a. Soit . donc :

, donc est une suite géométrique de raison .

, donc 28 est son premier terme.

Comme et , est décroissante.

Voir le cours III.4.

b. De a. on déduit , soit :

D'où .

c. D'après cette expression, est la somme de , qui est le terme d'indice n d'une suite géométrique de premier terme 7 et de raison , et de qui est le terme d'indice n d'une suite arithmétique de premier terme et de raison 2 :