La mécanique des fluides

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Exercices
Classe(s) : Tle STI2D - Tle STL | Thème(s) : Mécanique des fluides

Exercice résolu

Énoncé

Un tuyau d’arrosage dont le diamètre intérieur est de 1,4 cm, est fixé à un robinet d’eau fournissant un débit de 5,0 L.min1. Une buse de 3,0 mm de diamètre équipe l’autre extrémité du tuyau.

1. Pourquoi le débit d’eau dans le tuyau est-il constant jusqu’à la buse ?

2. Calculer la vitesse de l’eau dans le tuyau.

3. En déduire sa vitesse dans la buse.

Corrigé

1. Après quelques instants, la circulation d’eau dans le tuyau est en régime stationnaire. Par ailleurs, on peut considérer l’eau comme un fluide incompressible. Donc d’après la loi de conservation de la masse, le débit dans le tuyau est constant.

2. D’après 1., le débit est constant tout au long du tuyau d’arrosage :

Qv = 5,0 L.min1 = 5,0 × 103 m3.min1 = 5,0×10360 m3.s1 = 8,3 × 105 m3.s1

Or la section avant la buse vaut S1 = π × r12 = π × (0,70 × 102)2 = 1,5 × 104 m2

On en déduit v1 = QvS1 = 8,3×10–5 1,5×10–4  = 0,56 m.s1.

3. De même, la section de la buse vaut S2 = π × r22 = π × (1,5 × 103)2 = 7,1 × 10-6 m2

Donc v2 = QvS2 = 8,3×10–5 7,1×10–6  = 12 m.s1.

La vitesse à la sortie de la buse est bien plus importante que dans le tuyau.

Sujet corrigé

Énoncé

Les 3 parties sont indépendantes.

Un jardinier amateur a installé une cuve à proximité de sa cabane à outils. Il récupère l’eau de pluie tombant sur la toiture et dispose ainsi d’une réserve d’eau pour arroser les plantes cultivées.

Il a également placé 2 robinets pour utiliser cette eau : au pied de la cuve (position B) et au bout de son jardin (position C). Les deux robinets sont dans le même plan horizontal.

Données :

Masse volumique de l’eau : ρ = 1 000 dans l’Unité du Système International

Intensité de la pesanteur : g = 9,8 N.kg1 Patm = 1,013 × 105 Pa.

12050_02_10_stdi

1re partie

1. a. La masse volumique ρ est définie par la relation : ρ = mV

Identifier les termes m et V. Préciser leur unité dans le Système international.

b. La cuve possède une capacité maximale de 1 200 litres. Calculer la masse stockée lorsque la cuve est totalement remplie (1 m3 = 1 000 L).

2e partie

L’eau stockée dans la cuve occupe un volume correspondant à une hauteur h = 1,4 m. Il s’agit également de la dénivellation entre la surface de l’eau (point A) et le robinet (point B).

La loi fondamentale de la statique des fluides donne la différence de pression Δp entre 2 positions dans un liquide au repos : Δp = ρ.g.h

2. a. Calculer la différence de pression Δp entre les points A et B.

b. En quelle position la pression est-elle la plus élevée : point A ou point B ?

c. Sachant que la pression de l’eau au point A est égale à la pression atmosphérique de valeur pA = 1 013 × 102 Pa, calculer la pression pB de l’eau au robinet au point B.

3e partie

On s’intéresse maintenant à l’utilisation du deuxième robinet (point C) situé au bout du jardin.

3. a. Le jardinier parvient à remplir un arrosoir de volume V = 10 litres en une durée de 50 secondes. Montrer que le débit vaut : D = 0,20 × 103 m3.s1.

b. La canalisation possède une section constante de surface S = 4,0 × 104 m2. On suppose que l’écoulement de l’eau y est laminaire.

Donner l’expression du débit D en fonction de la vitesse moyenne d’écoulement vM et de la surface de la section S.

À partir de la valeur du débit donné à la question précédente, déterminer la vitesse moyenne d’écoulement vM de l’eau dans la conduite.

Corrigé

1. a. m est la masse en kilogramme et V est le volume exprimé en mètre cube.

b. La masse s’exprime à partir de la formule précédente par m = ρ.V soit m = 1 000 × 1,2 = 1,2 × 103 kg. La masse d’eau stockée est donc 1 200 kg lorsque la cuve est totalement remplie.

2. a. La différence de pression Δp = ρ.g.h vaut Δp = 1 000 × 9,8 × 1,4 = 1 372 Pa = 1,4 kPa

b. La pression la plus élevée est au point le plus bas donc au point B.

c. La différence de pression est Δp = pB pA, donc pB = pA Δp. Ainsi pB = patmΔp = 1,013 × 105 + 1,4 × 104 = 1,15 × 105 Pa. Il y a très peu de différence de pression entre A et B.

3. a. Le débit D s’exprime selon D = VΔt soit D = 1050 = 0,20 L.s1. Si on convertit en m3.s1 alors on obtient bien D = 0,20 × 103 m3.s1.

b. D s’exprime selon D = S.vM ainsi vM = DS soit v= 0,20×1034,0×104 = 0,50 m.s1.

La vitesse d’écoulement vaut donc 0,50 mètre par seconde. Cette vitesse est tout à fait cohérente avec une vitesse d’écoulement d’eau dans un tuyau.