Exercice corrigé Ancien programme

« la preuve par 9 »

On rappelle que tout entier naturel n peut s'écrire de manière unique :

avec : c'est l'écriture décimale de n.

Denis effectue à la main la division euclidienne de :

par Il affirme que le quotient q et le reste r valent et

Sandrine lui prouve qu'il s'est trompé en utilisant « sa bonne vieille preuve par 9 » :

Premièrement : la somme des chiffres de a vaut 91

Deuxièmement : la somme des chiffres de b vaut 28

Troisièmement : la somme des chiffres de q vaut 62

Quatrièmement : la somme des chiffres de r vaut 22

Enfin : et

Elle conclut : « Ton résultat est donc faux ».

1. Justifier cette méthode.

2. Cette « preuve par 9 » permet-elle de détecter toutes les erreurs ? Justifier la réponse.

 

 

1. On commence par justifier le fait que tout nombre entier naturel est

congru modulo 9 à la somme de ses chiffres (dans le système décimal).

Soit. n peut s'écrire de manière unique :

, avec a, on obtient (modulo 9).

Or, donc (modulo 9).

On en déduit (modulo 9).

Par le même procédé, on trouve (modulo 9), (modulo 9), et (modulo 9).

Or, si la division euclidienne est exacte, on doit avoir par définition, donc on doit avoir (modulo 9).

Comme le résultat obtenu par Denis donne (modulo 9), alors que (modulo 9), on en déduit que ce résultat est faux.

2. La division euclidienne de par ne donne pas et (car), mais on a bien (modulo 9), et (modulo 9).

Cet exemple prouve que cette 'preuve par 9' ne détecte pas toutes les erreurs.

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