Exercice corrigé Ancien programme

le cours

Partie A. ROC

On rappelle que si X suit une loi exponentielle de paramètre :

sa fonction de densité est la fonction définie sur par

son espérance est la limite quand x tend vers de .

Soit g la fonction définie sur par .

1. Dériver g.

2. En déduire la valeur de pour

3. Calculer l'espérance de X en fonction de .

et

Pour la définition de E (X), voir cours III.

Partie B.

Y suit une loi uniforme sur l'intervalle

1. Calculer

Voir le savoir-faire 1.

2. Calculer

Partie C.

Z suit une loi normale

1. Si et :

a. Comment appelle-t-on la loi de Z ?

b. Donner la fonction de densité de la loi de X.

c. Quelle particularité a sa courbe représentative dans un repère orthogonal ?

d. Donner alors

Voir le savoir-faire 1.

2. Si et , calculer

Voir le savoir-faire 2.

Partie A.

1. est de la forme avec , donc dérivable sur de dérivée

est donc dérivable sur comme produit, et :

2.Soit x > 0. Commençons par calculer .

Pour tout , , donc une primitive de

sur est la fonction :

.

Alors

3. , donc .

Comme et , on en déduit :

et

Donc et

Partie B.

1. La loi de Y admet pour densité la fonction définie sur

par .

On peut aussi utiliser directement la formule (voir le cours, II).

D'où

2. par le même procédé .

Partie C.

1.a. On dit que Z suit une loi normale centrée réduite.

Voir le cours, IV.

b. La fonction de densité de la loi de Z est définie sur par :

c. Sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (c'est une fonction paire).

d. près, donc .

On peut aussi utiliser directement la calculatrice :

Texas : normalcdf(-1.96, 1.96, 0, 1)

Casio : Ncd(Lower : -1.96 Upper : 1.96 σ : 0 µ : 1).

2. La calculatrice

Texas : normalcdf

Casio : Ncd(Lower : 1 Upper : 2.5 σ : µ : 3)

donne près.

Attention, c'est la valeur de qu'il faut entrer à la calculatrice et
pas !

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