Exercice corrigé Ancien programme

Le flocon de von koch

Partant d'un triangle équilatéral dont chaque côté a pour longueur 1, et d'aire a, on construit sur chaque côté, vers l'extérieur, un nouveau triangle équilatéral, et on itère le procédé. Lors d'une étape donnée, les nouveaux triangles équilatéraux qui apparaissent sont appelés « bourgeons ».

Étape 0                             Étape 1                            Étape 2

1. a. Calculer la valeur exacte de a.

b. Compléter.

  •  À chaque étape, le nombre de côtés est multiplié par : ...............
  •  À chaque étape, la longueur des côtés est divisée par : ...............
  •  À chaque étape, le nombre de bourgeons est égal au nombre de ...................... .

c. Pour l'étape n, on note le nombre de côtés, la longueur d'un côté, le périmètre de la figure.

Exprimer , et en fonction de n.

2. a. On note aussi l'aire de la figure. Montrer que pour tout :

.

b. On admet que : .

Déterminer les limites des suites et .

1. a. Utiliser le théorème de Pythagore.

1. c. On remarquera que ce sont trois suites géométriques.

2. b. Voir le savoir-faire 4.

Le flocon de Von Koch

1. a. En partageant le triangle équilatéral avec une hauteur, on obtient deux triangles rectangles identiques. On applique le théorème de Pythagore dans l'un deux : , ce qui donne , soit . L'aire du triangle équilatéral est donc : .

b. À chaque étape, le nombre de côtés est multiplié par : 4.

À chaque étape, la longueur des côtés est divisée par : 3.

À chaque étape, le nombre de bourgeons est égal au nombre de côtés de l'étape précédente.

c.  est une suite géométrique de raison 4 et de premier terme . Ainsi, pour tout , .

est une suite géométrique de raison et de premier terme .

Ainsi, pour tout , .

Et : .

2. a. Tout d'abord, on rappelle que l'aire d'un triangle équilatéral de côté x est :

.

Pour déterminer l'aire , on ajoute à l'aire de l'étape n, l'aire de tous les nouveaux triangles. Or, le nombre de bourgeons est égal au nombre de côtés de l'étape précédente. Et puisque l'aire d'un triangle équilatéral de côté ln est , on obtient :

.

b.  est une suite géométrique de raison et de premier terme positif 3.

D'où .

Comme , on a .

D'où et .

Enfin, .

Comme , on conclut : .

1. a. L'aire d'un triangle s'obtient par : .

2. b. On remarque que le périmètre de la « figure limite » est infini mais son aire est finie.

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