Le flocon de von koch

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Exercices
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Suites

Partant d’un triangle équilatéral dont chaque côté a pour longueur 1, et d’aire a, on construit sur chaque côté, vers l’extérieur, un nouveau triangle équilatéral, et on itère le procédé. Lors d’une étape donnée, les nouveaux triangles équilatéraux qui apparaissent sont appelés « bourgeons ».

Étape 0                             Étape 1                            Étape 2

1. a. Calculer la valeur exacte de a.

b. Compléter.

  •  À chaque étape, le nombre de côtés est multiplié par : ...............
  •  À chaque étape, la longueur des côtés est divisée par : ...............
  •  À chaque étape, le nombre de bourgeons est égal au nombre de ...................... .

c. Pour l’étape n, on note le nombre de côtés, la longueur d’un côté, le périmètre de la figure.

Exprimer , et en fonction de n.

2. a. On note aussi l’aire de la figure. Montrer que pour tout :

.

b. On admet que : .

Déterminer les limites des suites et .

1. a. Utiliser le théorème de Pythagore.

1. c. On remarquera que ce sont trois suites géométriques.

2. b. Voir le savoir-faire 4.