Le flocon de von koch

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Exercices
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Suites

Partant d&rsquo un triangle équilatéral dont chaque côté a pour longueur 1, et d&rsquo aire a, on construit sur chaque côté, vers l&rsquo extérieur, un nouveau triangle équilatéral, et on itère le procédé. Lors d&rsquo une étape donnée, les nouveaux triangles équilatéraux qui apparaissent sont appelés &laquo &nbsp bourgeons&nbsp &raquo .

Étape 0 &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Étape 1 &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Étape 2

1. a.&nbsp Calculer la valeur exacte de a.

b.&nbsp Compléter.

  • &nbsp À chaque étape, le nombre de côtés est multiplié par&nbsp : ...............
  • &nbsp À chaque étape, la longueur des côtés est divisée par&nbsp : ...............
  • &nbsp À chaque étape, le nombre de bourgeons est égal au nombre de ...................... .

c.&nbsp Pour l&rsquo étape n, on note le nombre de côtés, la longueur d&rsquo un côté, le périmètre de la figure.

Exprimer , et en fonction de n.

2. a.&nbsp On note aussi l&rsquo aire de la figure. Montrer que pour tout :

.

b.&nbsp On admet que&nbsp : .

Déterminer les limites des suites et .

1. a.&nbsp Utiliser le théorème de Pythagore.

1. c.&nbsp On remarquera que ce sont trois suites géométriques.

2. b.&nbsp Voir le savoir-faire&nbsp 4.