Partant d&rsquo un triangle équilatéral dont chaque côté a pour longueur 1, et d&rsquo aire a, on construit sur chaque côté, vers l&rsquo extérieur, un nouveau triangle équilatéral, et on itère le procédé. Lors d&rsquo une étape donnée, les nouveaux triangles équilatéraux qui apparaissent sont appelés «   bourgeons  » .
Étape 0                             Étape 1                             Étape 2
1. a.  Calculer la valeur exacte de a.
b.  Compléter.
-   À chaque étape, le nombre de côtés est multiplié par  : ...............
-   À chaque étape, la longueur des côtés est divisée par  : ...............
-   À chaque étape, le nombre de bourgeons est égal au nombre de ...................... .
c.  Pour l&rsquo étape n, on note 
le nombre de côtés, 
la longueur d&rsquo un côté, 
le périmètre de la figure.
Exprimer 
, 
et 
en fonction de n.
2. a.  On note aussi 
l&rsquo aire de la figure. Montrer que pour tout 
:
.
b.  On admet que  : 
.
Déterminer les limites des suites 
et 
.
1. a.  Utiliser le théorème de Pythagore.
1. c.  On remarquera que ce sont trois suites géométriques.
2. b.  Voir le savoir-faire  4.
