Exercice corrigé Ancien programme

Le pétrole de demain

Certains scientifiques estiment que les futures découvertes de pétrole dans le monde peuvent être modélisées, à partir de l'année 2011, grâce à la fonction f définie sur l'intervalle par :

de sorte que représente, en billions de barils (millions de millions de barils), l'estimation de la quantité de pétrole qui sera découverte au cours de l'année .

On admet que la fonction f est continue et dérivable sur l'intervalle et on note sa fonction dérivée sur cet intervalle.

1. Calculer l'estimation du nombre de barils de pétrole à découvrir en 2011 d'après ce modèle (on arrondira le résultat au billion près).

2. Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle , puis dresser son tableau de variation.

3. Selon ce modèle, peut-on envisager qu'au cours d'une même année, 10 000 billions de barils de pétrole soient découverts ?

Si oui, déterminer, en justifiant, cette (ces) année(s). Sinon, justifier la réponse.

4. Selon ce modèle, peut-on envisager qu'au cours de chaque année à partir de 2011, au moins 6 000 billions de barils de pétrole soient découverts ?

Si oui, justifier la réponse.

Sinon, déterminer, en justifiant, l'année pour laquelle les découvertes de pétrole deviendront strictement inférieures à 6 000 billions de barils.

Le pétrole de demain

1. , soit .

On estime à 13 271 billions, le nombre de barils de pétrole à découvrir en 2011 d'après ce modèle (au billion près).

2. Sur l'intervalle , on a :

.

Une exponentielle étant strictement positive, on a . Donc la fonction f décroît strictement sur l'intervalle .

3. Selon ce modèle, au cours d'une même année, on envisage de découvrir entre 13 271 et 142 billions de barils de pétrole. On peut donc envisager en découvrir 10 000 billions une année. Pour cela, on résout l'équation .

.

On a : .

En 2023, on envisage de découvrir environ 10 000 billions de barils de pétrole.

4. Selon ce modèle, au cours d'une même année, on envisage de découvrir entre 13 271 et 142 billions de barils de pétrole. On ne peut donc pas envisager découvrir au moins 6 000 billions de barils de pétrole chaque année.

3. En résolvant l'inéquation , on trouve qu'à partir de 2045, on envisage de découvrir moins de 6 000 billions de barils de pétrole par an.

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