Exercice corrigé Ancien programme

les petits chevaux

Au jeu des Petits Chevaux, on utilise un dé classique bien équilibré. Pour pouvoir entrer en jeu, on doit obtenir un 6. Si on n'obtient pas 6, on doit passer son tour.

Partie A. Algorithmique

Écrire un algorithme en langage courant qui donne le nombre de lancers de dé qu'il aura fallu attendre avant de pouvoir entrer en jeu.

On peut simuler un dé classique avec la formule où E désigne la fonction partie entière et a un nombre aléatoire pris au hasard dans l'intervalle (on parlera de loi uniforme sur au chapitre suivant).

Partie B.

Calculer la probabilité de pouvoir entrer en jeu :

1. au premier tour de dé 

2. au deuxième tour de dé 

Pour entrer en jeu au deuxième tour, il ne faut pas être entré en jeu au
premier tour . . .

3. au n-ième tour de dé, n désignant un entier supérieur ou égal à 2.

On peut dresser un arbre pondéré pour visualiser la situation.

Partie A

Entrées : aucune

Initialisation : (N désigne le nombre de lancers de dés pour pouvoir entrer dans le jeu)

Traitement : d est un nombre aléatoire égal à où a est aléatoire pris au hasard dans l'intervalle

Tant que

N devient

On recalcule d par la même formule

Fin de la boucle tant que

Sorties : Faire afficher N.

Si on programme cet algorithme, on doit penser à déclarer les variables N et d dès le début (comme des nombres).

Partie B

Pour on note l'événement « pouvoir entrer en jeu au n-ième tour de dé ».

Le dé est bien équilibré, donc ses six faces sont équiprobables. À chaque tour de dé, la probabilité d'obtenir un 6 est donc et la probabilité de ne pas obtenir un 6 est

1. On entre en jeu au premier tour de dé si on obtient un 6, donc :

2. On rentre en jeu au deuxième lancer si on n'a pas obtenu un 6 au premier tour de dé et si on obtient un 6 au deuxième tour de dé. Les résultats des lancers de dé étant indépendants :

On visualise mieux la situation avec un arbre pondéré :

Donc , d'où et 

3. Soit On rentre en jeu au n-ième tour de dé si on n'a pas obtenu 6 au cours de premiers tours de dé, et si on obtient un 6 au n-ième tour. Les résultats des lancers étant indépendants :

On visualise mieux la situation à l'aide d'un arbre pondéré :

Cette formule est vraie également pour avec la convention

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