Exercice corrigé Ancien programme

Loi binomiale

On lance deux dés bien équilibrés. On gagne si la somme des points obtenus est égale à 7.

1. Démontrer à l'aide d'un tableau à double entrée que la probabilité de gagner est

2. On lance 5 fois de suite deux dés bien équilibrés. On suppose que les jets sont indépendants.

a. Justifier que le nombre de succès suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

b. En déduire la probabilité de gagner exactement deux fois.

 

 

1. Les dés sont bien équilibrés, donc les couples formés des résultats des dés sont équiprobables. Calculons les sommes correspondantes :

  1.  

    2e dé

    1er dé

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    12

 

On distingue bien les deux dés (on peut penser à deux dés de couleurs différentes) pour travailler dans un univers (les 36 couples) où les événements élémentaires sont équiprobables (loi équirépartie). On pourra alors utiliser la formule pour calculer la probabilité la probabilité d'un événement. Voir le cours, I. 2.

Il y a donc 6 couples correspondant à la somme 7 donc la probabilité de gagner est :

à près.

2. a. On répète successivement cinq expériences indépendantes suivant une loi de Bernoulli de paramètre . Le nombre de succès suit alors une loi binomiale de paramètres et

b. On en déduit que la probabilité d'obtenir deux succès sur les 5 lancers est :

 

Pour la définition et l'utilisation de la loi binomiale : voir le cours, I. 4.

peut être obtenu :

en construisant l'arbre correspondant au schéma de Bernoulli et en comptant le nombre de branches contenant 2 succès

à l'aide du triangle de Pascal (voir cours de première)

directement à la calculatrice : .

 

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