Exercice corrigé Ancien programme

Loi de poisson

Une maladie génétique rare G touche une naissance sur 1 000 000 en France. On considère qu'il y a 800 000 naissances par an en France. On note X la variable aléatoire égale au nombre d'enfants atteints de G par an.

1. Quelle est la loi de X ?

2. On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre λ, notée , lorsque pour tout entier positif k, .

Lorsque la probabilité p est faible et que le nombre d'épreuves n est important, on peut approcher (c'est-à-dire que les résultats sont quasiment identiques, l'erreur commise étant très faible) une loi binomiale par une loi de Poisson . Plus précisément, on fera cette approximation dès lors que :

ou . Les conditions sont-elles remplies pour approcher cette loi par une loi de Poisson ?

3. Quelle est la probabilité d'observer la naissance de moins de trois enfants atteints de G par an ?

Si , le nombre , appelé « factorielle de k », est égal au produit des entiers de 1 à k. Ainsi, . Par convention, .

Loi de poisson

1. Lors d'une naissance, l'enfant est atteint de G (avec une probabilité 1/1 000 000) ou ne l'est pas. Les naissances étant indépendantes les unes des autres, X suit une loi binomiale de paramètres 800 000 et 1/1 000 000.

2. On a et , donc . Les conditions sont donc remplies et on peut approcher cette loi binomiale par une loi de Poisson de paramètre 0,8.

3. La probabilité d'observer la naissance de moins de trois enfants atteints de G par an est égale à :

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