Exercice corrigé Ancien programme

loi normale centrée réduite : le cours

X suit une loi normale centrée réduite N(0 1).

1. Donner sa fonction de densité f et la représenter dans un repère orthogonal d'unités 2 cm en abscisses et 5 cm en ordonnée.

2. Calculer les probabilités (arrondies à 0,001 près) et faire apparaitre sur le graphique les domaines correspondants :

a. b. c.

d.   e.   f.

En cas de difficultés, voir le savoir-faire 2.

3. Déterminer l'espérance de la variable X.

1. La fonction f est définie sur par

Voir le cours, IV 1.

2. a. et , donc à la calculatrice :

Texas : normalcdf

Casio : Ncd(Lower : Upper : 2 ).

On obtient près.

Voir le savoir-faire 2.

b. À la calculatrice

Texas : normalcdf

Casio : Ncd(Lower : Upper : ).

On obtient près.

C'est un peu plus précis que le résultat du cours, IV 2., (à connaître) :

à 10-2 près.

f étant paire,

c. La loi normale ne charge pas les points, donc

On le vérifie car

d.

Or à la calculatrice :

Texas : normalcdf (0, 2, 1)

Casio : Ncd (Lower : 0 Upper : 2 σ s : 1 µ : 0).

On obtient : 

près.

Autre méthode : on approche par

À la calculatrice :

Texas : normalcdf (–E99, 2, 0,1)

Casio : Ncd (Lower : –1E + 99 Upper : 2 s : 1 µ : 0).

e. À la calculatrice

Texas : normalcdf

Casio : Ncd(Lower : Upper : )
on obtient : près,
donc .

Autre méthode :

Or à 0,001 près

Texas : normalcdf

Casio : Ncd(Lower : Upper : 0 )

donc à 0,001 près.

f. Par symétrie, près.

Autres méthodes :

On approche par

À la calculatrice :

Texas : normalcdf

Casio : Ncd(Lower : 1 Upper :

près, donc

On utilise .

Or .

À la calculatrice :

Texas : normalcdf

Casio : Ncd(Lower : 0 Upper : 1

on obtient près,
d'où près.

3. L'espérance de la loi normale centrée réduite est

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