On admet que la production laitière annuelle, en litres, d'une vache laitière peut être modélisée par une variable aléatoire à densité X, suivant une loi normale de moyenne et d'écart-type
1. Calculer la probabilité qu'une vache produise entre 4900 et 5100 litres de lait par an.
2. Calculer la probabilité qu'elle produise moins de 4800 litres par an :
a. Première méthode : en approchant par
b. Deuxième méthode : après avoir justifié la propriété
« si »
3. Calculer la probabilité qu'une vache produise plus de 5250 litres par an :
a. Première méthode : en approchant par
b. Deuxième méthode : après avoir justifié la propriété
« si »
4. Calculer la production maximale prévisible des 20% de vaches les moins productives du troupeau, c'est-à-dire la valeur x telle que Arrondir au litre.
a. Première méthode : directement avec la « répartition normale réciproque » de la calculatrice.
Voir le savoir-faire 2. |
b. Deuxième méthode : sachant que, si Z suit une loi normale centrée réduite, (arrondi à 0,001 près).
5. Calculer la production minimale prévisible des 30 % des vaches les plus productives.
a. Première méthode : directement avec la « répartition normale réciproque » de la calculatrice.
b. Deuxième méthode : sachant que si Z suit une loi normale centrée réduite, (arrondi à 0,001 près).
1. Les calculatrices :
Texas : normalcdf (4 900, 5 100, 5 000, 300)
Casio : Ncd(Lower : 4 800 Upper : 5 100 : 300
: 5 000)
donnent près.
2. a. Les calculatrices
Texas : normalcdf
Casio : Ncd(Lower : Upper : 4 800
: 300
: 5 000)
donnent près,
d'où
b. Si est la réunion disjointe
.
D'o ,
donc .
étant la moyenne de la loi normale,
et comme une loi normale ne charge pas les points,
.
Ainsi on a bien .
On en déduit
Or les calculatrices
Texas : normal cdf(4 800, 5 000, 5 000, 300)
Casio : Ncd(Lower : 4800 Upper : 5 000 6 300 m 5 000)
donnent près.
Donc près.
On a aussi la propriété suivante |
3. a. Les calculatrices
Texas : normal cdf
Casio : Ncd(Lower : 5 250 Upper : )
donnent près.
D'où
b. Si est la réunion disjointe
.
D'où
Or et
,
donc .
Les calculatrices
Texas : normalcdf
Casio : Ncd(Lower : 5 000 Upper : 5 250 : 300
: 5 000)
donnent près.
Donc près.
4. a. Les calculatrices
Texas : invNorm
Casio : InvN(Tail : Left Area : 0,2 : 300
: 5 000)
donnent litres à 1 litre près.
b. X suit une loi suit une loi
.
Or
car
donc
Donc à 1 près.
5. On cherche la valeur x telle que c'est-à-dire tel que
car la loi normale ne charge pas les points.
a. Les calculatrices
Texas : invNorm(0.7, 5000, 300)
Casio : InvN(Tail : Left Area : 0,7 : 300
: 5 000 ) donnent :
litres à 1 près.
b. Comme au 4.b.,
d'où litres à 1 près.