Exercice corrigé Ancien programme

loi normales et vaches à lait

On admet que la production laitière annuelle, en litres, d'une vache laitière peut être modélisée par une variable aléatoire à densité X, suivant une loi normale de moyenne et d'écart-type

1. Calculer la probabilité qu'une vache produise entre 4900 et 5100 litres de lait par an.

2. Calculer la probabilité qu'elle produise moins de 4800 litres par an :

a. Première méthode : en approchant par

b. Deuxième méthode : après avoir justifié la propriété
« si  »

3. Calculer la probabilité qu'une vache produise plus de 5250 litres par an :

a. Première méthode : en approchant par

b. Deuxième méthode : après avoir justifié la propriété
« si  »

4. Calculer la production maximale prévisible des 20% de vaches les moins productives du troupeau, c'est-à-dire la valeur x telle que Arrondir au litre.

a. Première méthode : directement avec la « répartition normale réciproque » de la calculatrice.

Voir le savoir-faire 2.

b. Deuxième méthode : sachant que, si Z suit une loi normale centrée réduite, (arrondi à 0,001 près).

5. Calculer la production minimale prévisible des 30 % des vaches les plus productives.

a. Première méthode : directement avec la « répartition normale réciproque » de la calculatrice.

b. Deuxième méthode : sachant que si Z suit une loi normale centrée réduite, (arrondi à 0,001 près).

1. Les calculatrices :

Texas : normalcdf (4 900, 5 100, 5 000, 300)

Casio : Ncd(Lower : 4 800 Upper : 5 100 : 300 : 5 000)

donnent près.

2. a. Les calculatrices

Texas : normalcdf

Casio : Ncd(Lower : Upper : 4 800 : 300 : 5 000)

donnent près,
d'où

b. Si est la réunion disjointe .

D'o ,
donc .

étant la moyenne de la loi normale, et comme une loi normale ne charge pas les points, .

Ainsi on a bien .

On en déduit

Or les calculatrices

Texas : normal cdf(4 800, 5 000, 5 000, 300)

Casio : Ncd(Lower : 4800 Upper : 5 000 6 300 m 5 000)

donnent près.

Donc près.

On a aussi la propriété suivante

3. a. Les calculatrices

Texas : normal cdf

Casio : Ncd(Lower : 5 250 Upper : )

donnent près.

D'où

b. Si est la réunion disjointe .

D'où

Or et ,
donc .

Les calculatrices

Texas : normalcdf

Casio : Ncd(Lower : 5 000 Upper : 5 250 : 300 : 5 000)

donnent près.

Donc près.

4. a. Les calculatrices

Texas : invNorm

Casio : InvN(Tail : Left Area : 0,2 : 300 : 5 000) 

donnent litres à 1 litre près.

b. X suit une loi suit une loi .

Or
car

donc

Donc à 1 près.

5. On cherche la valeur x telle que
c'est-à-dire tel que car la loi normale ne charge pas les points.

a. Les calculatrices

Texas : invNorm(0.7, 5000, 300)

Casio : InvN(Tail : Left Area : 0,7 : 300 : 5 000 ) donnent :

litres à 1 près.

b. Comme au 4.b.,

d'où litres à 1 près.

Accéder à tous les contenus
dès 6,79€/mois

  • Les dernières annales corrigées et expliquées
  • Des fiches de cours et cours vidéo/audio
  • Des conseils et méthodes pour réussir ses examens
  • Pas de publicités
S'abonner