On admet que la production laitière annuelle, en litres, d'une vache laitière peut être modélisée par une variable aléatoire à densité X, suivant une loi normale de moyenne 
et d'écart-type 
1. Calculer la probabilité qu'une vache produise entre 4900 et 5100 litres de lait par an.
2. Calculer la probabilité qu'elle produise moins de 4800 litres par an :
a. Première méthode : en approchant 
par 
b. Deuxième méthode : après avoir justifié la propriété
« si 
»
3. Calculer la probabilité qu'une vache produise plus de 5250 litres par an :
a. Première méthode : en approchant 
par 
b. Deuxième méthode : après avoir justifié la propriété
« si 
»
4. Calculer la production maximale prévisible des 20% de vaches les moins productives du troupeau, c'est-à-dire la valeur x telle que 
Arrondir au litre.
a. Première méthode : directement avec la « répartition normale réciproque » de la calculatrice.
| Voir le savoir-faire 2. |
b. Deuxième méthode : sachant que, si Z suit une loi normale centrée réduite, 
(arrondi à 0,001 près).
5. Calculer la production minimale prévisible des 30 % des vaches les plus productives.
a. Première méthode : directement avec la « répartition normale réciproque » de la calculatrice.
b. Deuxième méthode : sachant que si Z suit une loi normale centrée réduite, 
(arrondi à 0,001 près).
1. Les calculatrices :
Texas : normalcdf (4 900, 5 100, 5 000, 300)
Casio : Ncd(Lower : 4 800 Upper : 5 100 
: 300 
: 5 000)
donnent 
près.
2. a. Les calculatrices
Texas : normalcdf
Casio : Ncd(Lower : 
Upper : 4 800 
: 300 
: 5 000)
donnent 
près,
d'où 
b. Si 
est la réunion disjointe 
.
D'o 
,
donc 
.
étant la moyenne de la loi normale, 
et comme une loi normale ne charge pas les points, 
.
Ainsi on a bien 
.
On en déduit 
Or les calculatrices
Texas : normal cdf(4 800, 5 000, 5 000, 300)
Casio : Ncd(Lower : 4800 Upper : 5 000 6 300 m 5 000)
donnent 
près.
Donc 
près.
| On a aussi la propriété suivante |
3. a. Les calculatrices
Texas : normal cdf
Casio : Ncd(Lower : 5 250 Upper : 
)
donnent 
près.
D'où 
b. Si 
est la réunion disjointe 
.
D'où 
Or 
et 
,
donc 
.
Les calculatrices
Texas : normalcdf 
Casio : Ncd(Lower : 5 000 Upper : 5 250 
: 300 
: 5 000)
donnent 
près.
Donc 
près.
4. a. Les calculatrices
Texas : invNorm 
Casio : InvN(Tail : Left Area : 0,2 
: 300 
: 5 000)
donnent 
litres à 1 litre près.
b. X suit une loi 
suit une loi 
.
Or 
car 
donc 
Donc 
à 1 près.
5. On cherche la valeur x telle que 
c'est-à-dire tel que 
car la loi normale ne charge pas les points.
a. Les calculatrices
Texas : invNorm(0.7, 5000, 300)
Casio : InvN(Tail : Left Area : 0,7 
: 300 
: 5 000 ) donnent :
litres à 1 près.
b. Comme au 4.b.,
d'où 
litres à 1 près.