Exercice corrigé Ancien programme

majorations du n-ième nombre premier

Pour on note pn le n-ième nombre premier ( par exemple . . .).

1. Soit n un entier supérieur ou égal à 2.

Démontrer que (On pourra raisonner par l'absurde).

2. a. En déduire que pour tout entier

b. Démontrer par récurrence que, pour tout

1. L'ensemble des nombres premiers est infini, donc pour tout

, existe. Supposons que . Alors il

existe tel que divise , sinon ce

nombre serait lenombre premier.

De plus divise ,

donc divise ,

ce qui est absurde car est premier.

Donc .

2. a. Soit . Pour tout ,

donc .

Donc d'après 1., .

b. On va montrer par récurrence que pour tout , .

et , donc la propriété est vraie au rang 1.

Supposons que la propriété soit vraie jusqu'à un certain rang , montrons qu'elle est vraie au rang . ,

soit .

Or ,

donc :

La propriété est donc vraie au rang .

Donc, pour tout , .

Accéder à tous les contenus
dès 6,79€/mois

  • Les dernières annales corrigées et expliquées
  • Des fiches de cours et cours vidéo/audio
  • Des conseils et méthodes pour réussir ses examens
  • Pas de publicités
S'abonner