Pour 
on note pn le n-ième nombre premier ( par exemple 
. . .).
1. Soit n un entier supérieur ou égal à 2.
Démontrer que 
(On pourra raisonner par l'absurde).
2. a. En déduire que pour tout entier 
b. Démontrer par récurrence que, pour tout 
1. L'ensemble des nombres premiers est infini, donc pour tout
, 
existe. Supposons que 
. Alors il
existe 
tel que 
divise 
, sinon ce
nombre serait le
nombre premier.
De plus 
divise 
,
donc 
divise 
,
ce qui est absurde car 
est premier.
Donc 
.
2. a. Soit 
. Pour tout 
, 
donc 
.
Donc d'après 1., 
.
b. On va montrer par récurrence que pour tout 
, 
.
et 
, donc la propriété est vraie au rang 1.
Supposons que la propriété soit vraie jusqu'à un certain rang 
, montrons qu'elle est vraie au rang 
. 
,
soit 
.
Or 
,
donc 
:
La propriété est donc vraie au rang 
.
Donc, pour tout 
, .