Exercice corrigé Ancien programme

marche aléatoire

Une puce se promène sur un tétraèdre régulier ABCD. A l'instant n, elle quitte le sommet où elle se trouve pour se placer indifféremment sur n'importe quel autre sommet.

1. Écrire la matrice de transition M associée au graphe.

On pose, pour tout

 

 

avec et

2. Démontrer que, pour tout

3. Soit T la variable aléatoire qui donne le temps au bout duquel la puce est revenue au sommet de départ.

a. Déterminer la loi de probabilité de T.

 

Déterminer successivement … et reconnaître les termes successifs d'une suite géométrique.

 

b. Calculer et déterminer la limite de quand n tend vers

 

Voir le cours sur les sommes de termes consécutifs d'une suite géométrique, chapitre 5.

 

1.

2. et

Donc

Supposons qu'il existe tel que et montrons qu'alors

donc

 

 

 

D'une part,

D'autre part,

 

donc vp+1 D'où

Donc, pour tout

3. a.

Pour tout entier

En effet, si A est le point de départ et BCD la base du tétraèdre :

le facteur 1 représente la probablilité que la puce quitte A 

le facteur représente le probabilité que la puce reste sur la base 

le facteur représente le probabilité que la puce revienne en A.

b. Posons

Donc  

 

La somme (infinie) des probabilités élémentaires est égale à 1.

 

 

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