Une puce se promène sur un tétraèdre régulier ABCD. A l'instant n, elle quitte le sommet où elle se trouve pour se placer indifféremment sur n'importe quel autre sommet.
1. Écrire la matrice de transition M associée au graphe.
On pose, pour tout 
avec 
et 
2. Démontrer que, pour tout 
3. Soit T la variable aléatoire qui donne le temps au bout duquel la puce est revenue au sommet de départ.
a. Déterminer la loi de probabilité de T.
| Déterminer successivement |
… et reconnaître les termes successifs d'une suite géométrique.
b. Calculer 
et déterminer la limite de 
quand n tend vers 
| Voir le cours sur les sommes de termes consécutifs d'une suite géométrique, chapitre 5. |
1. 
2. ● 
et 
Donc 
● Supposons qu'il existe 
tel que 
et montrons qu'alors 
donc 
D'une part, 
D'autre part, 
donc vp+1 
D'où 
Donc, pour tout 
3. a. 
…
Pour tout entier 
En effet, si A est le point de départ et BCD la base du tétraèdre :
● le facteur 1 représente la probablilité que la puce quitte A
● le facteur 
représente le probabilité que la puce reste sur la base
● le facteur 
représente le probabilité que la puce revienne en A.
b. Posons 
Donc 
| La somme (infinie) des probabilités élémentaires est égale à 1. |