Une puce se promène sur un tétraèdre régulier ABCD. A l’instant n, elle quitte le sommet où elle se trouve pour se placer indifféremment sur n’importe quel autre sommet.
1. Écrire la matrice de transition M associée au graphe.
On pose, pour tout 
avec 
et 
2. Démontrer que, pour tout 
3. Soit T la variable aléatoire qui donne le temps au bout duquel la puce est revenue au sommet de départ.
a. Déterminer la loi de probabilité de T.
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Déterminer successivement |
… et reconnaître les termes successifs d’une suite géométrique.
b. Calculer 
et déterminer la limite de 
quand n tend vers 
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Voir le cours sur les sommes de termes consécutifs d’une suite géométrique, chapitre 5. |