marche aléatoire

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Exercices
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Matrices et applications

Une puce se promène sur un tétraèdre régulier ABCD. A l’instant n, elle quitte le sommet où elle se trouve pour se placer indifféremment sur n’importe quel autre sommet.

1. Écrire la matrice de transition M associée au graphe.

On pose, pour tout

 

 

avec et

2. Démontrer que, pour tout

3. Soit T la variable aléatoire qui donne le temps au bout duquel la puce est revenue au sommet de départ.

a. Déterminer la loi de probabilité de T.

 

Déterminer successivement … et reconnaître les termes successifs d’une suite géométrique.

 

b. Calculer et déterminer la limite de quand n tend vers

 

Voir le cours sur les sommes de termes consécutifs d’une suite géométrique, chapitre 5.