Une puce se promène sur un tétraèdre régulier ABCD. A l'instant n, elle quitte le sommet où elle se trouve pour se placer indifféremment sur n'importe quel autre sommet.
1. Écrire la matrice de transition M associée au graphe.
On pose, pour tout
avec et
2. Démontrer que, pour tout
3. Soit T la variable aléatoire qui donne le temps au bout duquel la puce est revenue au sommet de départ.
a. Déterminer la loi de probabilité de T.
Déterminer successivement |
b. Calculer et déterminer la limite de
quand n tend vers
Voir le cours sur les sommes de termes consécutifs d'une suite géométrique, chapitre 5. |
1.
2. ● et
Donc
● Supposons qu'il existe tel que
et montrons qu'alors
donc
D'une part,
D'autre part,
donc vp+1 D'où
Donc, pour tout
3. a.
…
Pour tout entier
En effet, si A est le point de départ et BCD la base du tétraèdre :
● le facteur 1 représente la probablilité que la puce quitte A
● le facteur représente le probabilité que la puce reste sur la base
● le facteur représente le probabilité que la puce revienne en A.
b. Posons
Donc
La somme (infinie) des probabilités élémentaires est égale à 1. |