Exercice corrigé Ancien programme

matrices de rotation

Le plan est muni d'un repère orthonormal et orienté dans le sens direct. R désigne une matrice

À tout point on associe le point image tel que

1. Soit R la matrice

Déterminer les images des points Vérifier qu'ils se situent sur le cercle trigonométrique et donner leurs affixes.

2. Soit un réel. On note la matrice

a. Déterminer les images I′ et B′ des points I et Vérifier qu'ils se situent sur le cercle trigonométrique et donner leurs affixes.

b. Soit A le point du cercle trigonométrique d'affixe Exprimer les coordonnées du point image A′ en fonction de Vérifier que A′ a pour affixe

Voir les formules d'addition vues en 1re S.

3. Vérifier que, pour tous réels

1. I(1  0) donc I′(x′  y′) avec

I¢ a pour coordonnées c'est le point du cercle trigonométrique d'affixe

Donc c'est le point du cercle trigonométrique d'affixe

a pour coordonnées c'est le point du cercle trigonométrique d'affixe

2. a.

a pour coordonnées  : c'est le point du cercle trigonométrique d'affixe

a pour coordonnées

Or, pour tout réel

Voir cours 1re S.

B¢ est donc le point du cercle trigonométrique d'affixe

b. avec :

Or, pour tous réels a, b,

Donc a pour coordonnées

est donc le point du cercle trigonométrique d'affixe

est une matrice de rotation. On voit ici qu'elle transforme tout point du cercle trigonométrique en son image par la rotation d'angle C'est en fait le cas pour tout point du plan.

3. Soient deux réels. Alors :

Donc

donc :

Donc

Ce résultat implique que la composée de deux rotations d'angles respectifs et est une rotation d'angle et que l'application réciproque de la rotation d'angle est la rotation d'angle

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