Exercice corrigé Ancien programme

Méthode d'euler pour approcher la fonction

Soit f la fonction définie sur telle que et pour tout réel x.

Soit sa courbe représentative dans un repère orthonormé (2 cm pour 1 unité).

On souhaite approcher sur en traçant des courbes représentatives de fonctions continues gk affines par morceaux, k appartenant à .

Pour chacune de ces fonctions gk, on a .

On rappelle qu'une fonction est affine si son expression algébrique est de la forme .

Partie A

Dans cette partie, on prend .

1. Sur l'intervalle , le coefficient a vaut .

a. Déterminer l'expression algébrique de sur .

b. En déduire la valeur de .

c. Représenter g1 sur par un segment .

2. Sur l'intervalle , le coefficient a vaut .

a. Déterminer l'expression algébrique de sur .

b. En déduire la valeur de .

c. Représenter g1 sur par un segment .

3. Plus généralement, sur l'intervalle avec n entier compris entre et 1, le coefficient a vaut .

a. Montrer que l'on a : .

b. En déduire une relation entre et , puis les valeurs de et .

c. Terminer la représentation graphique de g1.

Partie B

Dans cette partie, on prend .

L'intervalle est découpé en huit intervalles de même amplitude 0,5 de la forme avec n entier compris entre et 3.

Pour n entier compris entre et 3, sur l'intervalle , le coefficient a vaut .

1. Montrer que l'on a : .

2. Montrer que .

3. Vérifier que et que .

4. Remplir le tableau suivant à l'aide de puissances de 1,5 dans la deuxième ligne et de valeurs arrondies à 0,01 près dans la troisième ligne.

x

- 2

- 1,5

- 1

- 0,5

0

0,5

1

1,5

2

     

1,5- 1

1,50

1,51

     

     

0,67

1

1,5

     

5. Tracer la représentation graphique de g0,5 dans le même repère que .

Partie C

Soit p un entier supérieur ou égal à 1. On prend . On divise l'intervalle en 4p intervalles de la forme avec n entier et

Pour n entier avec , en prenant pour le coefficient a la valeur sur chacun des intervalles , on montre que :

.

1. a. Quelle est la nature de la suite de terme ,  ?

b. En déduire l'expression de en fonction de n et de p.

c. Exprimer en fonction de p.

2. a. Quand k prend des valeurs de plus en plus proches de 0, la courbe tend vers une position limite qui est la courbe représentative de la fonction .

De quelle valeur le nombre se rapproche-t-il quand p prend des valeurs de plus en plus grandes, c'est-à-dire quand k prend des valeurs de plus en plus proches de 0 ?

b. Vérifier la conjecture émise à la question précédente en remplissant le tableau suivant.

r>

p

1

2

5

10

100

5 000

100 000

             

Méthode d'Euler pour approcher la fonction

1. a. On veut avec . On a aussi , soit .

Sur , on a .

b. On a donc : , soit .

c. On trace le segment avec et .

2. a. On veut avec . On a aussi , soit .

On obtient . Sur , on a .

b. On a donc : , soit .

c. On trace le segment avec .

3. a. On veut avec .

On a aussi , soit .

On obtient .

Sur , on a , soit

b. On a donc , soit .

On a donc , soit . On obtient .

On a donc , soit . On obtient .

c. On trace les segments et avec et .

1. Sur l'intervalle , on veut avec

On a aussi . D'où : .

On a donc : .

Soit : .

2. En remplaçant x par , on obtient .

3. En prenant dans la formule précédente, on a ,

soit .

En prenant , on a , soit .

On a donc , soit .

4. 

x

0

0,5

1

1,5

2

1,50

1,51

1,52

1,53

1,54

0,20

0,30

0,44

0,67

1

1,5

2,25

3,38

5,06

5. On place les neuf points correspondant au tableau précédent et les huit segments (voir figure page précédente).

1. a. Comme on a , la suite de terme , ,
est une suite géométrique de raison et de terme initial .

b. On utilise la formule .

On a , soit en fonction de n et de p.

c. En prenant , o a .

2. a. Quand p prend des valeurs de plus en plus grandes, c'est-à-dire quand k prend des valeurs de plus en plus proches de 0, le nombre se rapproche de , c'est-à-dire de e.

b. 

p

1

2

5

10

100

5 000

100 000

 

2

2,25

2,488 3

2,593 7

2,704 8

2,718 0

2,718 3

Quand p prend des valeurs de plus en plus grandes, prend bien des valeurs de plus en plus proches de e qui vaut 2,718 281 82…

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