Méthode d’euler pour approcher la fonction

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Exercices
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Fonctions exponentielles

Soit f la fonction définie sur telle que et pour tout réel x.

Soit sa courbe représentative dans un repère orthonormé (2 cm pour 1 unité).

On souhaite approcher sur en traçant des courbes représentatives de fonctions continues gk affines par morceaux, k appartenant à .

Pour chacune de ces fonctions gk, on a .

On rappelle qu’une fonction est affine si son expression algébrique est de la forme .

Partie A

Dans cette partie, on prend .

1. Sur l’intervalle , le coefficient a vaut .

a. Déterminer l’expression algébrique de sur .

b. En déduire la valeur de .

c. Représenter g1 sur par un segment .

2. Sur l’intervalle , le coefficient a vaut .

a. Déterminer l’expression algébrique de sur .

b. En déduire la valeur de .

c. Représenter g1 sur par un segment .

3. Plus généralement, sur l’intervalle avec n entier compris entre et 1, le coefficient a vaut .

a. Montrer que l’on a : .

b. En déduire une relation entre et , puis les valeurs de et .

c. Terminer la représentation graphique de g1.

Partie B

Dans cette partie, on prend .

L’intervalle est découpé en huit intervalles de même amplitude 0,5 de la forme avec n entier compris entre et 3.

Pour n entier compris entre et 3, sur l’intervalle , le coefficient a vaut .

1. Montrer que l’on a : .

2. Montrer que .

3. Vérifier que et que .

4. Remplir le tableau suivant à l’aide de puissances de 1,5 dans la deuxième ligne et de valeurs arrondies à 0,01 près dans la troisième ligne.

x

- 2

- 1,5

- 1

- 0,5

0

0,5

1

1,5

2

     

1,5- 1

1,50

1,51

     

     

0,67

1

1,5

     

5. Tracer la représentation graphique de g0,5 dans le même repère que .

Partie C

Soit p un entier supérieur ou égal à 1. On prend . On divise l’intervalle en 4p intervalles de la forme avec n entier et

Pour n entier avec , en prenant pour le coefficient a la valeur sur chacun des intervalles , on montre que :

.

1. a. Quelle est la nature de la suite de terme ,  ?

b. En déduire l’expression de en fonction de n et de p.

c. Exprimer en fonction de p.

2. a. Quand k prend des valeurs de plus en plus proches de 0, la courbe tend vers une position limite qui est la courbe représentative de la fonction .

De quelle valeur le nombre se rapproche-t-il quand p prend des valeurs de plus en plus grandes, c’est-à-dire quand k prend des valeurs de plus en plus proches de 0 ?

b. Vérifier la conjecture émise à la question précédente en remplissant le tableau suivant.


r>

p

1

2

5

10

100

5 000

100 000