modèle proie prédateur

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Exercices
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Matrices et applications

On s’intéresse à l’évolution du nombre de chouettes et du nombre de souris, exprimés en milliers d’individus.

On a choisi, pour décrire cette évolution, le modèle suivant :

et, pour tout (1)

Le coefficient 0,5 indique qu’en l’absence de souris, le nombre de chouettes diminue.

Le coefficient 1,1 indique qu’en l’absence de chouettes, le nombre de souris augmente de 10 %.

Les deux autres coefficients rendent compte de la relation proie-prédateur :
positif pour les chouettes, négatif pour les souris.

On pose, pour tout

1. Traduire le système (1) par une égalité matricielle entre et une matrice carrée A à définir.

2. On suppose dans cette question qu’il existe un réel et un vecteur colonne V non nul tel que

a. Montrer qu’alors la matrice n’est pas inversible.

 

Raisonner par l’absurde.

 

b. En déduire que est solution de l’équation

3. Déterminer les racines du trinôme On notera
la plus petite des deux racines.

4. Déterminer un vecteur colonne non nul tel que et un vecteur colonne non nul tel que

5. Soit P la matrice formée des vecteurs colonnes dans cet ordre.

a. Montrer que P est inversible et calculer son inverse.

b. Vérifier que

6. Démontrer par récurrence que, pour tout

7. En déduire l’expression de et de en fonction de n.

8. Déterminer les limites, quand n tend vers des populations de chouettes et de souris.