Exercice corrigé Ancien programme

modèle proie prédateur

On s'intéresse à l'évolution du nombre de chouettes et du nombre de souris, exprimés en milliers d'individus.

On a choisi, pour décrire cette évolution, le modèle suivant :

et, pour tout (1)

Le coefficient 0,5 indique qu'en l'absence de souris, le nombre de chouettes diminue.

Le coefficient 1,1 indique qu'en l'absence de chouettes, le nombre de souris augmente de 10 %.

Les deux autres coefficients rendent compte de la relation proie-prédateur :
positif pour les chouettes, négatif pour les souris.

On pose, pour tout

1. Traduire le système (1) par une égalité matricielle entre et une matrice carrée A à définir.

2. On suppose dans cette question qu'il existe un réel et un vecteur colonne V non nul tel que

a. Montrer qu'alors la matrice n'est pas inversible.

 

Raisonner par l'absurde.

 

b. En déduire que est solution de l'équation

3. Déterminer les racines du trinôme On notera
la plus petite des deux racines.

4. Déterminer un vecteur colonne non nul tel que et un vecteur colonne non nul tel que

5. Soit P la matrice formée des vecteurs colonnes dans cet ordre.

a. Montrer que P est inversible et calculer son inverse.

b. Vérifier que

6. Démontrer par récurrence que, pour tout

7. En déduire l'expression de et de en fonction de n.

8. Déterminer les limites, quand n tend vers des populations de chouettes et de souris.

 

1. Pour tout soit

avec

2.On suppose dans cette question qu'il existe un réel et un vecteur colonne V non nul tel que

a. Par l'absurde, supposons que soit inversible. Il existe donc une matrice telle que

 

On va montrer que

 

donc donc
donc soit

Multiplions à gauche par  :
d'où d'où

Or V est non nul par hypothèse. Il y a une contradiction.

Donc B n'est pas inversible.

b.

B n'est pas inversible, donc

 

Voir le cours, II. 2, propriété.

 

Donc soit

3.

Les racines du trinôme sont alors :

 

4.

 

.

Donc convient.

 

Donc convient.

5. a.

donc P est inversible et

b.

 

soit :

6.

Supposons qu'il existe un entier non nul p tel que : et montrons qu'alors :

 

 

D'autre part,

 

 

Donc, pour tout

 

7.Pour tout

 

 

 

D'où

 

8.

Finalement

Selon ce modèle, et dans ces conditions initiales, chacune des populations va croître infiniment.

 

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