Exercice corrigé Ancien programme

nombres de mersenne

1. Soit Montrer que

2. Soit n et a deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2.

Démontrer que si est premier, alors et n est premier.

3. On appelle nombre de Mersenne, tout nombre de la forme avec p premier, on le note Mp. Les nombres M2, M3, M5, M7, M11 sont-ils premiers ?

1. Si , l'égalité est évidente. Si , la suite étant géométrique de raison a, , d'où :

.

2. Soit , et , . On a . Or :

et .

Donc si est premier, , donc .

Si n n'est pas premier, , avec , et :

.

Puisque et , alors et donc n'est pas premier.

Donc, si est premier, alors et n est premier.

3. , sont premiers, est composé.

Les nombres de Mersenne participent à la recherche des nombres premiers : le plus grand nombre premier connu (en 2006) est M32 582 657 (plus de 10 millions de chiffres)

On retrouve les nombres de Mersenne dans les nombres parfaits pairs.

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