Exercice corrigé Ancien programme

numéro insee

Le numéro INSEE d'un individu est un nombre de quinze chiffres.

Les chiffres dépendent du sexe de l'individu, de la date et du lieu de sa naissance. Ils constituent un nombre noté

Les chiffres et constituent le nombre appelé clé, et obtenu comme suit : on calcule le reste r de la division euclidienne de A par 97, et on pose

1. Vérifier que 97 est un nombre premier.

2. On dispose d'un numéro INSEE noté et on note C sa clé.

a. Vérifier que et que (modulo 97).

b. Calculer le reste modulo 97 de 10n, pour

c. En déduire que C est l'unique entier vérifiant et :

d. Exemple : déterminer la clé du code INSEE commençant par 2751157212758.

Pour pouvoir traiter les exercices suivants sur la cryptographie dans les temps donnés, il sera utile de programmer correctement sa calculatrice pour les applications numériques.

1. On vérifie que pour tous les entiers n tels que n ne divise pas 97.

En effet, , et aucun des entiers 2, 3 ne divise 97.

97 est donc un nombre premier.

2.a. , .

Or, ,

donc.

Soit r est le reste de la division euclidienne de A par 97.

Ainsi (modulo 97) et (modulo 97).

Donc (modulo 97), soit (modulo 97).

b. On dresse le tableau suivant pour :

10n

1

10

102

103

104

105

106

107

108

109

1010

1011

1012

10n (modulo 97)

1

10

3

30

9

-7

27

-21

-16

34

49

5

50

c. .

D'où(modulo 97).

Or (modulo 97),

donc (modulo 97).

De plus, avec car r est le reste de la division euclidienne de A par 97, donc

L'entier étant congru modulo 97 à un unique entier compris entre 1 et 97, on en déduit que C est l'unique entier vérifiant et (modulo 97).

d. Pour, on a :

.

On trouve que (modulo 97), donc la clé est .

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