Optimisation du bénéfice

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Exercices
Classe(s) : 1re ES - 1re L | Thème(s) : Étude de fonctions


Une entreprise décide de se lancer dans la fabrication et la vente d’un nouveau modèle de téléphone portable permettant de faire des photographies.

Avant de lancer la production, l’entreprise estime que ses frais fixes seront de 350 000 euros et que chaque appareil fabriqué et vendu lui coûtera en plus 40 euros.

On désigne par x le nombre d’appareils que l’entreprise compte fabriquer.

Le prix de fabrication de ces x appareils est noté .

1. Exprimer en fonction de x.

2. a. Exprimer g, le prix de revient unitaire d’un appareil, en fonction du nombre x d’appareils fabriqués et vendus.

b. Montrer que la fonction g est une fonction décroissante sur .

c. Représenter graphiquement la fonction g pour x appartenant à .

d. Déterminer graphiquement la quantité minimale devant être produite pour avoir un prix de revient unitaire inférieur à 45 euros.

Préciser cette quantité par un calcul.

3. Une étude du marché actuel montre que le nombre d’appareils vendus augmente quand le prix diminue.

Pour un prix p, le nombre d’appareils vendus est .

a.  Exprimer le bénéfice en fonction du prix de vente.

b. Pour quel prix de vente le bénéfice est-il maximum ? Préciser le bénéfice obtenu et le nombre d’appareils qui doivent être fabriqués et vendus.