ordre d’un entier modulo p

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Exercices
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Arithmétique

Soit p un nombre premier et a un entier non divisible par p.

On considère l’ensemble

1. Démontrer que E n’est pas vide.

2. Soit h le plus petit entier appartenant à E : on dit que h est l’ordre de a modulo n.

Soit Démontrer que h divise n.

3. En déduire que h divise

4. Exemples : déterminer les ordres de 2, 3, 5 et 12 modulo 13.

Les deux exercices suivants utilisent les résultats démontrés dans l’exercice précédent. Soit p un nombre premier et a un entier non divisible par p :

Il existe un plus petit entier h tel que (modulo p).

Si n est un autre entier supérieur à 1 tel que (modulo p), alors h divise n (donc h divise d’après le petit théorème de Fermat).