Roselyne débute au basket-ball. Elle effectue des lancers francs successifs. Lorsqu'elle réussit le panier à un lancer, la probabilité qu'elle réussisse le panier au lancer suivant est égale à 
Lorsqu'elle manque le panier à un lancer, la probabilité qu'elle manque le panier au lancer suivant est égale à 
On suppose qu'au premier lancer, elle a autant de chances de marquer le panier que de le manquer.
Pour tout entier n strictement positif, on considère les événements suivants :
An « Roselyne marque le panier au n-ième lancer »
Bn « Roselyne manque le panier au n-ième lancer ».
On pose 
1. Déterminer 
et montrer que 
| On pourra dresser un arbre pondéré pour p2. |
2. Montrer que pour tout entier naturel 
| On pourra dresser un arbre pondéré représentant les n-ième et |
-ième lancers.3. Pour 
on pose 
Montrer que la suite 
est une suite géométrique dont on donnera le premier terme u1 et la raison q.
| On cherchera une relation entre |
4. Écrire 
puis 
en fonction de n pour tout 
| Attention aux formules : la suite |
démarre au rang 1.5. Déterminer 
1. Au premier lancer, réussir ou manquer le panier sont équiprobables, donc : 
.
| D'ailleurs, |
, donc on a bien 
.Pour le deuxième lancer :
et, comme 
On en déduit l'arbre pondéré :
Alors
.
| En cas de difficultés, voir le savoir-faire 2. |
2. Soit 
Enfin 
D'où l'arbre pondéré :
On en déduit :
3. Soit 
Donc la suite 
est géométrique de premier terme :
et de raison 
4. Pour tout 
D'où 
.
| On a bien et |
.5. 
donc 
or 
donc 
Ainsi 
.