Roselyne débute au basket-ball. Elle effectue des lancers francs successifs. Lorsqu'elle réussit le panier à un lancer, la probabilité qu'elle réussisse le panier au lancer suivant est égale à Lorsqu'elle manque le panier à un lancer, la probabilité qu'elle manque le panier au lancer suivant est égale à
On suppose qu'au premier lancer, elle a autant de chances de marquer le panier que de le manquer.
Pour tout entier n strictement positif, on considère les événements suivants :
An « Roselyne marque le panier au n-ième lancer »
Bn « Roselyne manque le panier au n-ième lancer ».
On pose
1. Déterminer et montrer que
On pourra dresser un arbre pondéré pour p2. |
2. Montrer que pour tout entier naturel
On pourra dresser un arbre pondéré représentant les n-ième et |
3. Pour on pose
Montrer que la suite est une suite géométrique dont on donnera le premier terme u1 et la raison q.
On cherchera une relation entre |
4. Écrire puis
en fonction de n pour tout
Attention aux formules : la suite |
5. Déterminer
1. Au premier lancer, réussir ou manquer le panier sont équiprobables, donc : .
D'ailleurs, |
Pour le deuxième lancer :
et, comme
On en déduit l'arbre pondéré :
Alors
.
En cas de difficultés, voir le savoir-faire 2. |
2. Soit
Enfin
D'où l'arbre pondéré :
On en déduit :
3. Soit
Donc la suite est géométrique de premier terme :
et de raison
4. Pour tout
D'où .
On a bien et |
5. donc
or
donc
Ainsi .