Exercice corrigé Ancien programme

panier ?

Roselyne débute au basket-ball. Elle effectue des lancers francs successifs. Lorsqu'elle réussit le panier à un lancer, la probabilité qu'elle réussisse le panier au lancer suivant est égale à Lorsqu'elle manque le panier à un lancer, la probabilité qu'elle manque le panier au lancer suivant est égale à On suppose qu'au premier lancer, elle a autant de chances de marquer le panier que de le manquer.

Pour tout entier n strictement positif, on considère les événements suivants :

An « Roselyne marque le panier au n-ième lancer »

Bn « Roselyne manque le panier au n-ième lancer ».

On pose

1. Déterminer et montrer que

On pourra dresser un arbre pondéré pour p2.

2. Montrer que pour tout entier naturel

On pourra dresser un arbre pondéré représentant les n-ième et -ième lancers.

3. Pour on pose

Montrer que la suite est une suite géométrique dont on donnera le premier terme u1 et la raison q.

On cherchera une relation entre et

4. Écrire puis en fonction de n pour tout

Attention aux formules : la suite démarre au rang 1.

5. Déterminer

1. Au premier lancer, réussir ou manquer le panier sont équiprobables, donc : .

D'ailleurs, , donc on a bien .

Pour le deuxième lancer :

et, comme

On en déduit l'arbre pondéré :

Alors

.

En cas de difficultés, voir le savoir-faire 2.

2. Soit

Enfin

D'où l'arbre pondéré :

On en déduit :

3. Soit

Donc la suite est géométrique de premier terme :

et de raison

4. Pour tout

D'où .

On a bien

et .

5. donc or donc

Ainsi .

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